Mathe hilfe?
Hey, ich brauche dringend hilfe, denn ich komme nicht weiter:
Ich weiss nicht, wie ich es zeichnen soll. Kann jemand ein paar davon als Beispiel graphisch zeichnen, damit ich es verstehe.
4 Antworten
a)
Bis x = -1 ist die Funktion monoton steigend und ab x ≥ -1 ist sie monoton fallend.
Den Punktx = -1 müssen wir besonders angucken. Da haben wir eine waagrechte Tangente. Mit einer waagrechten Stelle kann es nie eine strenge Monotonie geben, sondern nur eine Monotonie. Das Intervall I1 ist so definiert, dass -1 nicht mehr dazu gehört. Das Intervall ist an dieser Stelle offen. Da die waagrechte Stelle nicht mehr dazugehört, ist die Funktion bis dahin streng monoton steigend. Die Stelle x = -1 gehört zum Intervall I2. Das ist an dieser Stelle geschlossen. Daher kann dieses Intervall nicht streng monoton sein, sondern nur monoton fallend.
b) Ein Wechsel zwischen steigend und fallend oder umgekehrt findet immer an einer Extremstelle, also einem Hoch- oder Tiefpunkt statt.
Wenn der Graph bei x = -2 von stiegend auf fallend wechseln soll, muss da ein Hochpunkt liegen. Wenn er bei x = 4 von fallend auf steigend wechseln soll, muss da ein Tiefpunkt liegen:
Das Intervall I1 ist so definiert, dass Hoch- und Tiefpunkt zum Intervall gehören. Das sieht man an den geschlossenen eckigen Klammern. Das sind die Punkte mit waagrechter Tangente. Daher ist der Abschnitt dazwischen nicht streng monoton fallend, sondern nur monoton fallend.
Weitere Hoch- oder Tiefpunkte darf es nicht geben, denn dann wäre der Graph links und rechts vom Intervall I1 nicht streng monoton steigend.
Die Monotonie gibt ja Auskunft über das Vorzeichen der Steigung auf einem Intervall I. Streng-monoton bedeutet, dass die Steigung im Intervall nicht 0 werden darf, es also keinen Hoch-/Tief- bzw. Sattelpunkt geben darf (wie im Intervall von -unendlich bis -1). Wenn der Graph „nur“ monoton steigt oder fällt, darf die Steigung zwischendurch auch 0 sein, wie im Beispiel am Sattelpunkt.
Hoffe das hilft dir erstmal.
Kleine Korrektur: ist die Steigung in nur einem Punkt gleich Null gilt strenge Monotonie, denn es gilt ja "trotzdem" f(b)>f(a) (bzw. <) mit b>a (bzw. <). So ist z. B. f(x)=x³ streng monoton steigend über ganz IR.
Erst wenn 2 Punkte hintereinander die Steigung Null haben muss das "streng" wegfallen.
a) Zeichne einfach irgendeine steigende Gerade bis x=-1 und von da an eine fallende Gerade, die zwischendurch mal waagerecht verläuft; sonst wäre sie dort streng monoton fallend, sie soll aber "nur" monoton fallend sein. Statt Geraden kannst Du auch irgendwelche Schlangenlinien zeichnen, wichtig ist halt, dass es innerhalb eines Intervalls bei "streng monoton" nur in eine Richtung geht; fehlt das Wörtchen "streng" dann verläuft der Graph auch waagerecht.
"monoton" bedeutet es geht nicht hoch und runter, sondern nur in eine Richtung, wobei es auch zwischendurch mal waagerecht geht.
Bei "streng monoton" darf der Graph nicht waagerecht verlaufen.
Und waagerecht bedeutet hier (wie ich oben in einem anderen Kommentar schon erwähnt habe), dass der Graph/die Funktion mindestens 2 Punkte in Folge die Steigung Null hat.
Ich hab mal was gekritzelt. Ist ungenau und unschön, einfach nur um die Anforderungen darzustellen.
a) ist hier ab -1 streng monoton fallend weil damit die Anforderung "monoton fallend" eigentlich auch gedeckt ist. Von "nur" ist da ja nicht die Rede.
Was wird mit streng monoton gemeint