Frage von Lovisax33, 63

Mathe e-funktion ableiten, binomische formeln?

Moin. Ich hab hier eine Aufgabe, wo eine Funktion f mit f(x)=(x+2)^2×e^-x. Dann schreiben die, dass die Ableitung f'(x)=-(x^2+2x)×e^-x ist. Das mit -e^-x verstehe ich, nur wie kommen die auf den Wert in der Klammer? Ich hab da abgeleitet 2x+4 raus. Wie kommen die also auf das Ergebnis und wie leite ich dann weiter ab? Bitte nicht nur Lösungen schreiben, sondern so ausführlich wie möglich erklären!:-( Vielen, vielen Dank an alle die sich Zeit hierfür nehmen! Schönen Abend noch an alle:-)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 48

Zuerst leitest Du mit der Produktregel ab, dann klammerst Du e^(-x) aus:

f'(x)=2(x+2)e^(-x)+(x+2)²*e^(-x)*(-1)                 |Klammern ausrechnen
      = (2x+4)e^(-x)-(x²+4x+4)*e^(-x)                  |e^(-x) ausklammern
      = (2x+4-x²-4x-4)*e^(-x)                               |Klammer ausrechnen
       = (-x²-2x)*e^(-x)                                         |(-1) ausklammern
       = -(x²+2x)*e^(-x)

Kommentar von Lovisax33 ,

Danke sehr!:-)

Antwort
von seifreundlich2, 33

Sei f(x) = (x + 2)^2 * e^-x die zu differenzierende Funktion, so ist

f'(x) = u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)

Mit u(x) = (x + 2)^2 und v(x) = e^-x sowie deren Ableitungen u'(x) = 2x + 4 und v'(x) = -e^-x folgt

f'(x) = (2x + 4) * e^-x + (x + 2)^2 * (-e^-x) <=>

f'(x) = e^-x * [2x + 4 - (x^2 + 4x + 4)] <=>

f'(x) = e^-x * [-x^2 - 2x] = -e^-x * (x^2 + 2x)


Kommentar von Lovisax33 ,

ahhh, jetzt hab ich es verstanden! vielen Dank!:-)

Kommentar von seifreundlich2 ,

Das Vorzeichen in der Mitte der allgemeinen Formel (zweite Zeile meiner Antwort) sollte ein "+" sein, kein "-".

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