Mathe - Wie komm ich auf diese Tangente?
Die Aufgabe lautet:
Ermitteln Sie den Punkt des Funktionsgraphen f, in dem die Tangente an den Graphen von f eine Ursprungsgerade ist, und geben Sie die Gleichung dieser Tangente an.
Die Funktion ist diese:
f(x)=-12*((ln(x))/x)
1 Antwort
Berührpunkt Tangente Funktionsgraph: S (x_S│y_S)
f(x) = -12 * ln(x) / x
f'(x) = 12 * (ln(x) - 1) / x²
Steigung Gerade: m = y_S / x_S
y_S / x_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S²
y_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S
-12 * ln(x_S) / x_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S
x_S = e^(1 / 2)
y_S = -6 / e^(1 / 2)
Gerade:
y = ((-6 / e^(1 / 2)) / e^(1 / 2)) * x
y = (-6 / e) * x
-12 * ln(x_S) / x_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S │* x_S / 12
-ln(x_S) = ln(x_S) - 1
2 * ln(x_S) = 1
ln(x_S) = 1 / 2
x_S = e^(1 / 2)
Dankeschön, diesmal hat es geklappt! Ich hätte nur eine Frage hierzu:
-12 * ln(x_S) / x_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S
Ist damit f(x_S)=f‘(x_S) gemeint? Weil bei der Ableitung im Nenner x^2 und nicht x steht. Vielen Dank
Die Steigung der Geraden wird gleichgesetzt mit der Ableitung der Funktion, also
g'(x_S) = f'(x_S)
y_S / x_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S²
multipliziert mit x_S:
y_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S
und jetzt y_S ersetzen:
-12 * ln(x_S) / x_S = 12 * (ln(x_S) - 1) / x_S
Darf ich fragen, wie du auf x_S = e^(1 / 2) gekommen bist? Mit nSolve kam bei mir x_S = e^0.4 heraus und nicht e^(1/2)