Lässt sich jede irrationale Zahl mithilfe von Fakultäten und Binominalkoeffizenten und Summen/Produkten darstellen?

So wie hier Pi

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Man kann nicht jede irrationale Zahl durch eine endliche Formel darstellen, da es überabzählbar viele irrationale Zahlen gibt, aber nur abzählbar viele Formeln.

Eine solche Formel wie im Bild kann man z.B. als LaTeX-Code schreiben. Erst zählt man die Zahlen, die man durch ein Zeichen darstellen kann, dann die Zahlen, die man durch zwei Zeichen darstellen kann, usw. Da es nur endlich viele verschiedene Zeichen gibt, gibt es jedes Mal auch nur endlich viele Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also nur abzählbar viele Zahlen, die man auf die Weise darstellen kann.

Comments

[Unbiquadium]

Eine solche Formel wie im Bild kann man z.B. als LaTeX-Code schreiben.

Nicht am Smartphone

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Unbiquadium

Auf dieser Seite gibt es den Formeleditor nur in der Desktopansicht. Beim Querhalten des Smartphones wechselt die Ansicht in die Desktopansicht.

Es geht mir aber darum, dass theoretisch eine solche Formel als Code geschrieben werden kann, und nicht konkret, mit welchem Editor man dies tut. Eine solche Formel kann man in eine Zeichenkette übersetzen und das ist dann wie ein abbrechender Dezimalbruch mit dem Unterschied, dass es neben den Ziffern noch zusätzliche Zeichen gibt und nicht jede Zeichenkette eine gültige Formel ergibt. Genauso wie es nur abzählbar viele abbrechende Dezimalbrüche gibt, gibt es auch nur abzählbar viele solcher Formeln.