Längenkontraktion?

Warum tritt die Längenkontraktion nur in Bewegungsrichtung auf? Habe im Internet keine vernünftige Antwort gefunden.

VG

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo Jeremias988,

die Speziellen Relativitätstheorie (SRT) beruht auf GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP). Siehst Du an Bord eines kräftefreien Raumfahrzeugs B ein baugleiches Raumfahrzeug B' mit konstanter x-Geschwindigkeit v› vorbeiziehen, kannst Du ebensogut sagen, dass sich nicht B' bewegt, sondern Du mit −v› an B' vorbeiziehst.

Fortbewegung kann also keine Größen an B und B' verändern, die man direkt miteinander vergleichen kann, sonst könntest Du leicht herausfinden, welcher von beiden sich bewegt.

Warum "Längenkontraktion"?

Die Idee geht auf einen gescheiterten Versuch zurück, die Bewegung der Erde durch Vergleich der Lichtgeschwindigkeit senkrecht zur Bewegungsrichtung der Erde und in/ gegen sie nachzuweisen.

Angenommen, Du hast ein Rohr der Länge l₀, an einem Ende eine Lichtquelle und einen Detektor mit hochpräziser Uhr, am anderen einen Spiegel. Ein Lichtimpuls sollte hib und zurück genau T₀ = 2l₀⁄c brauchen.

Nimmst Du allerdings an, dass Du Dich mit −v› bewegst, so beträgt die Differenzgeschwindigkeit zwischen dem Lichtsignal und Dir je nach Ausrichtung des Rohres zwischen c − v =: c(1 − β) und c(1 + β), das Erste in, das zweite gegen Deine Bewegungsrichtung. Das ergibt eine Lichtlaufzeit

(1) T₁ = l₁/c(1 − β) + l₁/c(1 + β) = l₁(1 − β + 1 +  β)/c(1 − β)(1 + β) = 2l₁/c(1 − β²).

Bei senkrecht zur Bewegungsrichtung ausgerichtetem Rohr bewegt sich das Lichtsignal im Zickzack; für die Richtung senkrecht zu ihr bleibt nach PYTHAGORAS nur √{c² − v²} = c√{1 − β²} übrig, was zur Lichtlaufzeit

(2) T₂ = 2l₂/c√{1 − β²}

führt. Das RP fordert nun, dass Du die Diskrepanz nicht merkst, daher muss T₂ = T₁, also

(3.1) 2l₂/c√{1 − β²} = 2l₁/c(1 − β²)

und somit

(3.2) l₂/l₁ = 1/√{1 − β²} =: γ

sein. Wohl bemerkt: Du selbst merkst von diesem Längenunterschied nichts.

-- Baustelle --

Oft muss man die gesuchte Größe allerdings indirekt ermitteln, d.h., man misst irgendwas und muss daraus die gesuchte Größe berechnen und dazu noch bestimmte Annahmen treffen. Zum Beispiel, dass man sich selbst nicht bewegt.

Natürlich stellt sich die Frage, warum die Bewegung überhaupt etwas ändern sollte. In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist das nämlich nicht so.

GALILEI meets MAXWELL

Zu den Naturgesetzen gehören auch MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und damit auch, dass sich elektromagnetische Wellen in alle Richtungen mit c ausbreiten.

Was sich also relativ zu B mit c bewegt, das bewegt sich auch relativ zu B' mit c und umgekehrt.

Mit "relativ zu X" ist gemeint, dass X auch als Bezugskörper gilt, d.h. Zeitspannen und zurückgelegte Strecken werden dabei unter der Maßgabe berechnet, dass X stationär ist.

Optischer DOPPLER-Effekt und Geschwindigkeit

Angenommen, Du sitzt in B, und B' kommt auf Dich zu (den Abstand, in dem B' an Dir vorbei ziehen wird, können wir vernachlässigen) oder umgekehrt.

Dann kannst Du das Tempo v=βc von B' relativ zu B mit Hilfe eines Licht- oder Funksignals ermitteln, das von B' reflektiert wird. β ergibt sich aus dem Faktor, um dem die Frequenz des Echos höher ist als die des Signals, und den wir K² nennen:

(1) β = (K² − 1)/(K² + 1)

Ist z.B. K² = 4, so muss β = ⅗ = 0,6 sein. Dies ist mein Lieblings- Zahlenbeispiel, weil sich damit alles besonders leicht rechnen lässt.

Gleichung (1) ergibt sich, wenn wir

(2) (c + v)/(c − v) = (1 + β)/(1 − β) = K²

nach β auflösen.

Die Frequenzverschiebung ist der optische DOPPLER-Effekt für Hin- und Rückweg.

-- Baustelle --

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung