Komme bei Aufgabe mit Trassierung nicht weiter. Wo ist mein Fehler?
Aufgabe: Für eine Fahrradbahn wird das abgebildete Höhenprofil geplant. Auf der Abbildung sieht man eine Straße und einen 4m hohen Hügel, auf dem die Straße weiter geht. Von dem Punkt bei dem der Hügel beginnt bis zu dem an dem die Straße weitergeht sind es ebenfalls 4m.
a) Wie könnte die Gleichung der Profilkurve lauten, wenn die Übergangspunkte versatz- und knickfreisein sollen?
b) Die Bahn soll nirgens steiler als 60° sein. Wird diese Auflage erfüllt?
c) Ist die Funktion f(x)=1/4*x²+x-1 geeignet a) und b) zu erfüllen?
Meine Lösung:
a) Ich lege den Ursprung in die Mitte, dann habe ich eine punktsymmetrische Funktion. Daraus schließe ich f(x) = ax^3+bx (nur ungrade Potenzen für die Punktsymmetrie). Maximum ist bei (2/2), Minimum bei (-2/-2) f(x)=g(x) für den versatzfreien Übergang f'(x)=g'(x) für den knickfreien Übergang
g(x) = 2 da die Straße in einer Höhe von 2 Metern grade verläuft.
also:
a2^3+2b=2 und 3a*2^2+b=0
Und hier komme ich an ein Problem. Löse ich nach der ersten Formel auf bekomme ich a=1/4, löse ich nach der zweiten Formel auf bekomme ich a=-1/8 und beides funktioniert in der Probe nicht. Wo ist mein Fehler?
Jetzt komme ich bei beiden auf -1/8=a, dann wäre b=2,5. Aber die Probe ergibt immernoch 2=4. Kann also nicht sein.
b) Hätte ich eine Formel würde ich jetzt die Tangente der Wendestelle bestimmen und dann mit dem Tangenssatz rechnen. Ein bisschen Angst macht mir, das die Tangende im Ursprung liegt und das sich durch die vielen Nullen alles wegkürzt.
c) Nein, kann sie nicht, da es eine Parabel ist. Knickfrei ist damit ausgeschlossen. Der Punkt (2/2) liegt zwar auf der Parabel, (-2/-2) aber nicht, also auch nicht versatzfrei. Und eine Parabel nähert sich immer weiter 90°, damit dürfte b auch ausgeschlossen sein.
Bitte helft mir ein Ergebnis für a) zu finden, mit ich eines für b) finden kann.
2 Antworten
"a2^3+2b=2 und 3a*2^2+b=0"Das ist richtig!
Auflösung nach a und b:
8a + 2b = 2 >> 4a + b = 1 >> b = 1 - 4a
12a + b = 0 >> 12a - 4a = -1
a = -1/8 und b = 1 + 1/2 = 3/2
Gleichung y = -x³ / 8 + 3x / 2
Kontrolle:
y' = -x² * 3/8 + 3/2
y(2) = y(-2) = 2
y'(2) = y'(-2) = 0
Du hattest also nur falsch aufgelöst
Übrigens ist die Funktion keine Parabel,
sondern eine Funktion 3. Grades
Wenn ich das richtig verstehe, steigt die Straße im Punkt P(0|0) an und erreicht nach 4 Metern eine Höhe von 4 Metern.
Allgemeine Funktion 3. Grades: f(x)=ax³+bx²+cx+d
Wegen P(0|0) ist d=0
Damit kein "Knick" entsteht muß bei x=0 und x=4 die Steigung jeweils 0 sein (Extrempunkt).
f'(x)=3ax²+2bx+c f'(0)=0 => c=0
f'(4)=0 => 48a+8b=0 (I)
f(4)=4 => 64a+16b=4 (II)
2*(I)-(II) => 32a=-4 => a=-1/8
=> b=3/4
ergibt für die Funktion: f(x)=-1/8x³+3/4x²
Zu b)
der maximale Anstieg ist bei x = 0, der arctan(3/2) = 56°