Kann mir bitte jemand bei einer Matheaufgabe zu Matrizen helfen?
Die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
In einer Region werden die beiden Monatszeitschriften A und B zum Kauf angeboten. Von den Lesern der Zeitschrift A kaufen 60% der Leser auch im Folgemonat Zeitschrift A. Die anderen wechseln zu Zeitschrift B. 30% der Leser der Zeitschrift B lesen im Folgemonat die Zeitschrift A, während der Rest der Zeitschrift B treu bleibt.
1) Im Februar kaufen 50% der Zeitschriftenkunden Zeitschrift A und die anderen 50% Zeitschrift B. Berechnen Sie (Angabe in Prozent) die Marktanteile der beiden Zeitschriften im Monat Januar.
2) Bestimmen Sie die Marktanteile der beiden Zeitschriften (Angabe in Prozent), so dass sie sich innerhalb eines Monats nicht verändern.
3) Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren zu der Matrix M, die dieser Aufgabe zugrunde liegt, und erstellen Sie auf der Grundlage der ermittelten Eigenwerte und Eigenvektoren eine Prognose für die langfristige Entwicklung der Marktanteile der Zeitschriften A und B.
Erläutern Sie den Zusammenhang Ihrer Prognose zum Ergebnis der Aufgabe 2).
Ich habe schon erste Ansätze zu Aufgabe 1 und eine Matrix m zu den Zeitschriften angefertigt sowie diese mit einem Vektor zu den gekauften Zeitschriften im Februar multipliziert. Ich weiß nur leider nicht ob das Ergebnis so stimmt und das überhaupt von der Aufgabe gefordtert ist und was ich als nächstes machen muss. Wäre dankbar für jede Hilfe.
1 Antwort
Ich habe schon erste Ansätze zu Aufgabe 1 und eine Matrix m zu den Zeitschriften angefertigt sowie diese mit einem Vektor zu den gekauften Zeitschriften im Februar multipliziert.
Das ist nicht korrekt, damit bekommst du nämlich die Verteilung für den nächsten Monat.
Du musst stattdessen das Inverse der der Matrix mit dem Vektor Multiplizieren, um die Verteilung des vorherigen Monats zu erhalten.
Für die 2 Musst du die Gleichung Mx=x lösen, wobei für x gelten soll, dass alle Einträge zwischen 0 und 1 sind, und deren Summe gleich 1 ist.
Bei der 3 wirst du zwei Eigenwerte erhalten, einer wird 1 sein, der andere wird einen Betrag haben der echt kleiner als 1 ist. Nutze das um vorherzusagen, gegen welche Verteilung der Prozess konvergieren wird.
2)
Du hast das Gleichungssytem falsch.
Die Matrix ist
0.6 0.3
0.4 0.7
(Wenn x für Zeitung A und y für Zeitung B steht)
Zeile A Spalte B steht nämlich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit jemand von B nach A wechselt.
Du bekommst somit das LGS:
0.6x+ 0.3y = x
0.4x+ 0.7y = y
Somit:
-0.4x + 0.3y =0
0.4x - 0.3 y = 0
Die beiden Zeilen sind linear abhängig, weswegen die Lösungen sich alle auf einer Ursprungsgeraden Befinden werden.
Finde somit eine beliebige Lösung, und finde ein vielfaches davon, sodass die Summe der Einträge 1 ist (dass beide Einträge dann positiv sind folgt dann direkt daraus)
Und tut mir leid normalerweise ist die Notation von Markovketten anders:
Der Verteilungsvektor v ist dort ein Zeilenvektor, weswegen du eigentlich das LGS vM=v lösen solltest, wobei M hier dann gespiegelt ist (also
0.6 0.4
0.3 0.7
)
Was genau meintest du jetzt mit den Markovketten? Höre davon tatsächlich zum ersten mal. Muss ich in der Aufgabe also Mx=x rechnen oder vM=v? Weil ich hatte ersteres gemacht. Mir ist auch mein Fehler direkt aufgefallen und zwar hatte ich ausversehen mit der inventierten Matrix bei 2. gerechnet.
Also wenn ihr das nicht offiziell hattet, dann ignorier das lieber. Dann ist es denke ich okay, dass du Mx=x stattdessen löst.
Man bezeichnet solche Stochastische. Prozesse halt normalerweise Markovketten.
Muss ich bei den beliebigen Lösungen raten? Ich habe die Gleichungen nämlich aufgelöst und 0=0 rausgebkommen was ja ein Zeichen dafür ist, dass es unendlich viele Lösungen gibt aber so richtig was für x und y finde ich nicht...
Naja die Aufgabe ist allgemein ein Zusatz vom Lehrer und ich möchte sie gerne richtig verstehen und er meinte ich soll dafür aber mir zusätzliche informationen anschaffen deshalb denke ich das könnte doch wichtig sein
Es sollte klar sein, dass Mx=X unendlich viele Lösungen hat, da 1 ein Eigenwert von 1 ist.
Wie gesagt, du musst eine beliebige Lösung der Gleichung bestimmen und dann ein vielfaches von der Lösung suchen, sodass die Lösung eine Verteilung ist (also dass die Werte beide Positiv sind und zusammen 1 sind)
Wenn du "Verdrängungswettbewerb von Eichhörnchen Numerik" in Google eingibst, müsstest dort eine Datei einer Uni als Ergebnis angezeigt. Da drin werden Markovketten kurz erklärt und eben erklärt wie die Prognose bestimmt werden kann
Also ich hab jetzt das zu den einzelnen Aufgaben raus:
2) für x=0,3 (ich kann mir ja einen Wert zwischen 0 und 1 aussuchen) ist y=7/3x
Also ist eine mögliche Lösung bei Aufgabe 2: Z*(x, 7/3x)= (x, 7/3x)
3) Eigenwerte: 1 und 0,3 --> so wie ich es Verstanden habe ist nur 1 wichtig also zumindest hatte ich dass in der Prösentation die du mir Empfohlen hast gelesen, aber wüsste jetzt nicht warum die 0,3 irrelevant ist.
Eigenvektoren wären dann zu 1= (3/4t, t) und zu 0,3= (-t, t) wobei t nicht 0 sein kann.
Wenn ich aber für t positive Zahlen eingebe habe ich immer größer werdende Zahlen also bei dem Eigenwert 1 kommt wenn ich für t=100 einsetze kommt da (75, 100) und daraus resultiert ja dass es doch keinen Grenzwert gibt und es gegen +unendlich geht. Das einzige was ich daraus schließen könnte ist, dass der Anteil von Zeitschrift B auf lange Sicht mehr sein wird als der von Zeitschrift A, aber das wiederum wiederspricht sich zu Aufgabe 2 und ist ja nicht so konkret. Oder hab ich hier jetzt allgemein etwas falsch gemacht?
2) für x=0,3 (ich kann mir ja einen Wert zwischen 0 und 1 aussuchen) ist y=7/3x
Also ist eine mögliche Lösung bei Aufgabe 2: Z*(x, 7/3x)= (x, 7/3x)
Du bist noch nicht Fertig. Du musst die Lösung finden, die eine Verteilung darstellt. (Also die Lösung, bei der die Summe der beiden Einträge gleich 1 ist)
3) Eigenwerte: 1 und 0,3 --> so wie ich es Verstanden habe ist nur 1 wichtig also zumindest hatte ich dass in der Prösentation die du mir Empfohlen hast gelesen, aber wüsste jetzt nicht warum die 0,3 irrelevant ist.
Du hast hier v=(3/7, 4/7) als Eigenvektor für 1 (ich habe Mal den Vektor so skaliert, sodass dieser gleich einer Verteilung ist) und w=(-1, 1) als Eigenvektor für 0.3
Du kannst nun jede Startverteilung s als Linearkombination der beiden Vektoren schreiben. Also s=a*v+b*w. (Hier wird a sogar immer gleich 1 sein, somit ist jede Verteilung durch s=v+b*w mit einem Passenden b darstellbar)
Nach einem Zeitschritt bekommst du dann folgende Verteilung:
Ms = Mv + b*Mw
Da v und w Eigenvektoren sind bekommst du:
Ms = v + 0.3*b*w
Die v-Komponente bleibt also gleich, die w-komponente wird weniger.
Nun das selbe nach n Zeitschritten:
M^n*s= v + 0.3^n * b *w
Wenn du nun n gegen unendlich laufen lässt, geht 0.3^n gegen 0, da |0.3|<1
Somit geht M^n*s gegen den Vektor v, und das unabhängig davon, wie die Startverteilung aussieht.
Wenn ich aber für t positive Zahlen eingebe habe ich immer größer werdende Zahlen also bei dem Eigenwert 1 kommt wenn ich für t=100 einsetze kommt da (75, 100) und daraus resultiert ja dass es doch keinen Grenzwert gibt und es gegen +unendlich geht. Das einzige was ich daraus schließen könnte ist, dass der Anteil von Zeitschrift B auf lange Sicht mehr sein wird als der von Zeitschrift A, aber das wiederum wiederspricht sich zu Aufgabe 2 und ist ja nicht so konkret. Oder hab ich hier jetzt allgemein etwas falsch gemacht?
Der Ansatz ist nicht korrekt, da du t nicht gegen unendlich laufen lassen sollst (was auch kein Sinn ergibt, da du dann keine Verteilung mehr erhälst)
Du bist noch nicht Fertig. Du musst die Lösung finden, die eine Verteilung darstellt. (Also die Lösung, bei der die Summe der beiden Einträge gleich 1 ist)
Glaube bin irgendwie verwirrt oder so weil ich komme mit allen mitteln nicht auf die Lösung des LGS und habe sogar als Hilfe schon eine dritte Gleichung x+y=1 aufgestellt.
Du hast hier v=(3/7, 4/7) als Eigenvektor für 1 (ich habe Mal den Vektor so skaliert, sodass dieser gleich einer Verteilung ist) und w=(-1, 1) als Eigenvektor für 0.3
Wie kamst du auf die 4/7 ? habe ich mich verrechnet?
Ich hatte das mit den Eigevektoren so gelernt, dass man ein t immer raus hat deshalb dachte ich dass sei so richtig mit dem einsetzen.
Heißt das also die Zeitschriften werden auf lange Sicht gegen den Vektor v gehen also es wird immer mehr B Leser als A Leser geben?
Glaube bin irgendwie verwirrt oder so weil ich komme mit allen mitteln nicht auf die Lösung des LGS und habe sogar als Hilfe schon eine dritte Gleichung x+y=1 aufgestellt.
Siehe meine vorherigen Kommentare:
Du hast das LGS:
-0.4x + 0.3y =0
0.4x - 0.3 y =0
Da die zweite Zeile ein vielfaches der ersten ist, kannst du die zweite einfach weglassen.
Somit erhälst du die Gleichung:
0.3y = 0.4x
Also folgt:
y = 4/3*x
Wenn du nun x=1 einsetzt erhälst du die Lösung:
(1, 4/3)
Da die Summe 1 sei. Kannst du den Vektor einfach durch dessen Summe, also 7/3 teilen und bekommst damit den Vektor (3/7, 4/7)
Wie kamst du auf die 4/7 ? habe ich mich verrechnet?
Nein hast du nicht, ich habe einfach 7/4 in t eingesetzt.
Ich hatte das mit den Eigevektoren so gelernt, dass man ein t immer raus hat deshalb dachte ich dass sei so richtig mit dem einsetzen.
Im Grunde ist es auch richtig, da es unendlich viele Eigenvektoren gibt. Es reicht hier aber aus, zwei spezifische Vektoren auszuwählen, damit du mit denen eine Basis des R^2 hast, um die Verteilungen als Linearkombination dieser beiden Eigenvektoren schreiben kannst.
Heißt das also die Zeitschriften werden auf lange Sicht gegen den Vektor v gehen also es wird immer mehr B Leser als A Leser geben?
Ja genau, der Markt stabilisiert sich und ändert sich mit jedem Zeitschritt immer weniger.
Du kannst nun jede Startverteilung s als Linearkombination der beiden Vektoren schreiben. Also s=a*v+b*w. (Hier wird a sogar immer gleich 1 sein, somit ist jede Verteilung durch s=v+b*w mit einem Passenden b darstellbar)
Nach einem Zeitschritt bekommst du dann folgende Verteilung:
Ms = Mv + b*Mw
Da v und w Eigenvektoren sind bekommst du:
Ms = v + 0.3*b*w
Die v-Komponente bleibt also gleich, die w-komponente wird weniger.
Nun das selbe nach n Zeitschritten:
M^n*s= v + 0.3^n * b *w
Wenn du nun n gegen unendlich laufen lässt, geht 0.3^n gegen 0, da |0.3|<1
Somit geht M^n*s gegen den Vektor v, und das unabhängig davon, wie die Startverteilung aussieht.
Woher hast du die Formel oder Gleichung s=a*v+b*w bzw wiw kommt man darauf und was bedeuten a und b und wieso ist a immer 1?
Wieso rechnest du 0,3*b*w dachte erst in das b muss 0,3 eingesetzt werden...
Und zur letzten Aufgabe noch die Frage was der Zusammenhang zwischen meiner Prognose, (also dass die Zeitschriftenverteilung sich immer weniger ändert und der Anteil von B immer größer bleiben wird als für A) und zum Ergebnis der Aufgabe 2 ist? Ich seh da nicht wirklich einen...
Ich danke dir wirklich für deine Hilfe (im Vorraus) ich glaube ich bin einfach überfordert mit der Aufgabe und will wirklich alles ganz genau verstehen, weil das für mein Abi wichtig ist.
Woher hast du die Formel oder Gleichung s=a*v+b*w bzw wiw kommt man darauf und was bedeuten a und b und wieso ist a immer 1?
a und b sind beliebige reellen Zahlen. Wie gesagt, v und w bilden eine Basis (da linear unabhängig) weswegen jeder Vektor des R^2 als Linearkombination von v und w dargestellt werden kann.
a ist immer 1, da für eine Verteilung gelten soll, dass die Summe der Einträge gleich 1 ist. Die Summe der Einträge von v ist gleich 1, bei w ist die Summe gleich 0. Somit ist die Summe von s gleich a, weswegen a=1 gelten muss. b darf beliebig sein (solange die beiden Einträge von s nicht negativ sind)
Wieso rechnest du 0,3*b*w dachte erst in das b muss 0,3 eingesetzt werden
b ist eine beliebige reelle Zahl (solange v+bw eine echte Verteilung darstellen kann)
Und es gilt halt b*Mw = b*0.3*w da w der Eigenvektor zum Eigenwert 0.3 ist
Und zur letzten Aufgabe noch die Frage was der Zusammenhang zwischen meiner Prognose, (also dass die Zeitschriftenverteilung sich immer weniger ändert und der Anteil von B immer größer bleiben wird als für A) und zum Ergebnis der Aufgabe 2 ist? Ich seh da nicht wirklich einen...
Sicher?
Was ist denn die Lösung aus Aufgabe 2 und was ist der Vektor v? Da müsste dir eigentlich was sehr offensichtliches auffallen
Btw in welchem Bundesland bist du überhaupt? Ich habe noch nie gesehen dass Eigenwerte und Eigenvektoren Schulstoff ist
Ich komme aus Hamburg und ich hatte Eigenwerte und Eigenvektoren bis jetzt auch nur kurz in einem externen Mathe Universitäts Kurs...bin aber erhöhten Kurs weshalb wir das wahrscheinlich auch im normalen Unterricht machen.
Sicher?
Was ist denn die Lösung aus Aufgabe 2 und was ist der Vektor v? Da müsste dir eigentlich was sehr offensichtliches auffallen
Ahhh die Lösung aus Aufgabe 2 und der Vektor v zum Eigenwert 1 sind beide exakt gleich. Heißt das also der Eigenvektor für den Eigenwert 1 und die Lösung aus 29 sind die selben weil es sich bei beiden um den Fixvektor handelt?
Aufgabe 1 hab ich verstanden und richtig gelöst. Danke!
Ist Aufgabe 2 überhaupt lösbar? Muss ich dort probieren oder wie ist das? Ich hab jetzt ein LGS aufgestellt und versuche es aufzulösen oder umzustellen aber da kommt nichts sinnvolles raus...
Ich hab die beiden Gleichungen aufgestellt:
Hatte auch versucht mit der Bedingung x+y=1 bzw. x=1-y zu rechnen und diese einzusetzen, aber dann löst sich entweder x auf oder y wird gleich x
Bei Aufgabe 3 habe ich tatsächlich die Eigenwerte 1 und 0,3 raus :) Am Eigenvektor bin ich noch dran.
Danke im vorraus