Kann man errechnen ob eine natürliche Zahl eine Fibonaccizahl ist?

Gibt es eine Formel?

Beispielsweise für die Frage: Ist 1.209.348.756 Teil der Fibonacci-Reihe?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Es gibt eine Formel, mit der Du die n-te Fibonacci-Zahl berechnen kannst. Die Standardformel enthält leider eine Summe von Exponentialfunktion, sodass man nicht einfach eine Umkehrfunktion angeben kann. In dem Wikipedia-Artikel findest Du auch eine Näherungsformel, die Du bis auf die Rundung umkehren kannst. Das Ergebnis setzt Du wieder in die Fibonacci-Formel ein und überprüfst, ob die ursprüngliche Zahl dabei rauskommt.

Zu Deinem Beispiel:

$\text{log}_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(\sqrt{5} \cdot 1209348756) \approx 45,1320305502$ $\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{45} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{45}\right) = \left[\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{45}\right] = 1134903170 \neq 1209348756$

1.209.348.756 ist also keine Fibonacci-Zahl.

 \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{45} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{45}\right) = \left[\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{45}\right] = 1134903170 \neq 1209348756

Comments

[SadDad]

Wow! Doppeltes Danke!

Einmal für die Antwort und Lösung.

Ein zweites Danke für die Syntax, wie man mathematische Formeln hier abbilden kann. Ich wusste gar nicht, dass man das kann.