Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Der Schwerpunkt des Snowboardspringers bewegt sich in etwa auf einer Parabel. Nach 6 m ist er wieder auf der Höhe des Absprungs, zwischendurch war er maximal 2m höher als beim Absprung. Notiere drei Punktkoordinaten, wenn der Ursprung des zu wählenden Koordinatensystems a) im Absprungspunkt liegt. b) im höchsten Punkt liegt. c) Berechne die Funktionsvorschriften. d) Nach 7m Sprungweite landet der Snowboardfahrer. Berechne mit beiden Ansätzen, wie tief der Landepunkt liegt. e) Passen die Ergebnisse zueinander?
1 Antwort
Hallo Evelyn
Aufgabe 5.)
a)
Koordinaten sind z.B. (0/0), (3/2) und (6/0)
b)
Koordinaten sind z.B. (-3/-2), (0/0), (3/-2)
c)
Funktionsvorschrift für (a): y= (-2/9)*x^2 + (4/3)*x
Funktionsvorschrift für (b): y= -(2*x^2)/9
Herleitung: allgemeine Funktion: y=ax^2+bx+c
Wir brauchen drei Punkte zur Herleitung einer Funktion, die diese Kriterien erfüllt. Diese Punkte habe ich bei Aufgabe a) und b) bereits hingeschrieben. Man setzt nun diese Punkte in die allgemeine Funktion ein:
für a):
allg: (x/y) : ax^2+bx+c = y
(0/0): a*0^2+b*0+c = 0
(3/2): a*3^2+b*3+c = 2
(6/0): a*6^2+b*6+c = 0
Nun hast Du drei Gleichungen mit drei Unbekannten (a, b und c). Dies ist ein lineares Gleichungssystem, das man schrittweise auflösen kann:
a*0^2+b*0+c = 0 ---> c=0
a*3^2+b*3+c = 2 ---> 9a+3b+c = 2 ---> 9a+3b+0 = 2 ---> 9a+3b=2
a*6^2+b*6+c = 0 ---> 36a+6b+c = 0 ---> 36a+6b+0 = 0 ---> 36a+6b=0
Es bleibt noch zu lösen:
9a+3b=2
36a+6b=0
Rechenweg:
9a+3b=2 ---> 9a-2=-3b ---> 2-9a=3b ---> b=(2-9a)/3
--> b in unterer Gleichung einsetzen:
36a+6b=0 ---> 36a + 6*((2-9a)/3) = 0 ---> 36a+(12-54a)/3 = 0
--> 36a+(12-54a)/3 = 0 ---> 36a + 3(4-18a)/3=0 --> 36a+4-18a=0
--> 18a+4=0 --> 18a=-4 --> a= -4/18 --> a=-2/9
Nun kann b bestimmt werden. Weiter oben hatten wir: b=(2-9a)/3
Hier setzen wir nun a=-2/9 ein: b=(2-9*(-2/9))/3 ---> b=(2+2)/3 = 4/3
Wir kennen nun a=-2/9, b=4/3 und c=0. Eingesetzt in
y=ax^2+bx+c gibt das:
y=(-2/9)x^2+(4/3)x+0 --> (-2/9)x^2+(4/3)x
für b) Analoges Vorgehen. Die Lösung wäre, wie weiter oben bereits erwähnt:
y= -(2*x^2)/9
d)
Wir setzen x=7 in die jeweilige Funktionsvorschrift ein:
Funktionsvorschrift für (a): y= (-2/9)*x^2 + (4/3)*x
---> y= (-2/9)*7^2 + (4/3)*7 ---> y= -14/9 =~ -1.556
Funktionsvorschrift für (b): y= -(2*x^2)/9
y= -(2*7^2)/9 ---> y=-98/9 =~ -10.889
e)
Direkt stimmen die Funktionsvorschriften natürlich nicht überein. Ein bestimmter Wert x0 in Funktionsvorschrift (a) eingesetzt ergibt einen anderen y-Wert als den selben Wert x0 in Funktionsvorschrift (b) eingesetzt.
Die Funktionsvorschriften unterscheiden sich insofern, als man von Funktionsvorschrift (b) auf Funktionsvorschrift (a) kommt, wenn man den Graphen von (b) auf der x-Achse um 3 Einheiten nach rechts und auf der y-Achse um zwei Einheiten nach oben verschiebt.
Mathematisch müsstest Du überall in der Funktionsvorschrift von (b) (d.h. y= -(2*x^2)/9) das "x" durch "x-3" ersetzen und am Schluss noch 2 hinzuaddieren:
y= -(2*x^2)/9) --> -(2*(x-3)^2)/9) ---> -(2*(x-3)^2)/9)+2
Wenn man das dann vereinfacht, sollte man auf den selben Term wie die Funktionsvorschrift von (a) kommen.
Falls ihr schon Funktionen hattet, könnte man es auch so schreiben:
Sei f(x) die Funktionsvorschrift für (a) und g(x) die Funktionsvorschrift für (b):
Dann gilt: f(x) = g(x-3) + 2
Hast Du es geschafft, bei c) die Funktionsvorschrift für Aufgabe (b) analog herzuleiten?
Wow, Du warst aber schnell mit lesen und mit dem "als hilfreich" Einstufen :). Könnte ja sein, dass mir noch ein Rechnungsfehler unterlaufen ist :)... sollte aber nicht der Fall sein, ich habe alles doppelt durchgerechnet.