Ist es möglich, zwei Münzen (mit je zwei Seiten) so zu fälschen (also keine ideale Münze mehr vorliegen?
Ist es möglich, zwei Münzen (mit je zwei Seiten) so zu fälschen (also keine ideale Münze mehr vorliegen
zu haben), dass beim Werfen der zwei Münzen die Ereignisse
"zweimal Kopf",
"zweimal Zahl",
"Kopf und Zahl"
die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen? Beide Münzen sollen auf die gleiche Art gefälscht
werden. Begründen Sie Ihre Antwort!
Kann mir jmd helfen komme nicht weiter
6 Antworten
DIe intendierte Lösung ist wahrscheinlich, dass das unmöglich ist.
Du hast vier Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ. Wenn die Wahrscheinlichkeiten der drei obigen Ereignisse identisch wären, müsste gelten:
P(KK) = P(KZ)+P(ZK) = P(KK).
Sei a die Wahrscheinlichkeit einer Münze, dass sie Kopf zeigt.
Sei b die Wahrscheinlichkeit einer Münze, dass sie Zahl zeigt.
Dann gilt ja: P(KK) = a*a, P(KZ) = a*b = b*a = P(ZK), P(ZZ) = b*b.
Oben einsetzen, also:
Also gilt unter anderem:
P(KK) = P(ZZ) <=> a*a = b*b, also a=b.
Das setzen wir ein in P(KK) = P(ZK) + P(KZ) :
a*a = a*a + a*a. Dafür gibt es nur eine Lösung: a=b=0.
Ergo gibt es nur eine Lösung, nämlich das die Münzen jeweils nie Kopf oder Zahl zeigen.
Das ist wohl nicht die intendierte Lösung, aber du könntest es dir leicht machen und zwei Münzen so fälschen, dass sie immer auf der Seite landen. Dann besitzt jedes der oben stehenden Ereignisse eine Wahrscheinlichkeit von 0%.
Vorausgesetzt ein Münzwurf kann nur die beiden Ergebnisse "Kopf" und "Zahl" haben. Wenn p die Wahrscheinlichkeit einer Münze für Kopf ist, dann ist q = 1-p die Wahrscheinlichkeit der Münze für Zahl. Wir berechnen leicht:
- Die Wkeit für "zweimal Kopf" ist p²
- Die Wkeit für "zweimal Zahl" ist q² = (1-p)²
Wenn diese beiden Wahrscheinlichkeiten gleich sind, gilt also p² = (1-p)². Für welches p ist das erfüllt? Ist für dieses p dann auch die Wkeit für "Kopf und Zahl" dieselbe wie die obigen beiden?
Korrekt. Die Antwort auf meine erste Frage ist: (ausschließlich) p = 0.5
Die Antwort auf meine zweite Frage ist: Nein.
Da also das einzige p, das überhaupt infrage kommt, die Bedingungen nicht erfüllt, kann man die Münzen nicht entsprechend fälschen.
p² = (1-p)² ist nur für p = 1/2 wahr. Und das sind die idealen Münzen . ..... Reicht das wirklich als Beweis ? Weil ist so simple :))
Als "passive" Münzen sicherlich nicht (sprich durch ändern des Schwerpunktes, etc.)
Die beiden Münzen müssten "mitzählen" und miteinander kommunizieren und "agieren".
Falls du allerdings mit "Kopf und Zahl" nur diese Reihenfolge meinst (und nicht auch "Zahl und Kopf" - du also unterscheidbare Münzen hast), dann haben diese 3 Ergebnisse schon die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich je 1/4
Wenn man den Schwerpunkt zu einer Seite verschöbe,
könnte man jeden der drei Fälle bevorzugen, aber nicht alle drei.
Wenn die Zahl-Seite schwerer wäre, wäre
"zweimal Kopf" wahrscheinlicher als "zweimal Zahl".
Es müsste schon irgendwas Verstellbares an den Münzen sein.
Das funktioniert leider nicht. Die Gleichung ist ja erfüllt, wenn
p = 1-p gilt, also für p=0,5.
Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf, zweimal Zahl 0,25.
Die Wahrscheinlichkeit für das dritter Ereignis wäre jedoch
p*(p-1) + p*(p-1) = p²+p² = 0,25 + 0,25 = 0,5