Ist ℝ abgeschlossen oder offen?
Hallo!
Meine Frage ist ob die Menge der reellen Zahlen abgeschlossen oder offen ist. Wenn ich nach dem epsilon „Kriterum“ gehe ist ℝ ja offen, da ich um jeden Punkt aus ℝ eine „epsilon-Umgebung“ legen kann, sodass für jedes Epsilon diese Umgebung noch in ℝ liegt. Demnach wäre ℝ offen jedoch bin ich mir da nicht ganz sicher da ich hier und da mal andere sachen gelesen habe wo leute mit anderen Kriterien Argumentiert haben... oder kann man über „unendliche“ Menge nicht sagen ob sie offen oder abgeschlossen sind?
Danke schonmal im Vorraus!
2 Antworten
Hallo xam193,
beides (als Teilmenge von ℝ selbst, das ist wichtig). Einerseits ist ℝ offen in ℝ, denn für jedes Element von ℝ gibt es eine ganze Umgebung, die komplett in ℝ liegt. Als Teilmenge von ℂ, der Menge der Komplexen Zahlen, ist ℝ nicht offen, denn da gibt es in jeder Umgebung Reelle und andere Komplexe Zahlen.
Als abgeschlossen wird eine Menge bezeichnet, deren Komplement offen ist. Das Komplement von ℝ (wiederum in ℝ) ist die Leere Menge. Das Komplement von ℝ in ℂ ist übrigens die Menge aller Komplexen Zahlen, deren Imaginärteil nicht gleich 0 ist. In ℂ ist ℝ also nur abgeschlossen.
Über jedes Element der Leeren Menge ist jede beliebige Aussage richtig, weil sie ja keine Elemente hat, auch die mit der ε-Umgebung. Sie ist also ein Paradebeispiel einer abgeschlossenen offenen Menge (engl. clopen set).
Ist X ein topologischer, so ist die Teilmenge C := X, trivialerweise abgeschloffen, weil X und das Komplement ~X={} (Leermenge) per Definition beide offen sind. Ende.
Das gilt für ALLE topologischen Räume, IR eingeschlossen.