Innenwinkelsatz eines Dreiecks?
Hallo,
könnt ihr mir Tipps geben, wie man den Innenwinkelsatz eines Dreiecks beweisen kann?
Beste Grüße
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Der Innenwinkelsatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180 Grad beträgt.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Satz zu beweisen. Hier ist ein einfacher Beweis mithilfe von Parallellinien:
- Zeichne ein Dreieck ABC.
- Konstruiere eine Parallele zur Seite AB durch Punkt C. Nennen wir den Schnittpunkt mit der Verlängerung der Seite BC als D.
- Da AC parallel zu BD ist, können wir die Stufenwinkelregel verwenden.
- Finden wir zuerst die Stufenwinkel α und β zwischen den Winkeln ACB und CBD.
- Da ACB und DBC kongruent sind (sie benutzen denselben Bogen BC), sind die entsprechenden Stufenwinkel α und β gleich.
- Also können wir schreiben: α = β.
- Da α + β den gesamten Winkel ADC ausfüllt und ADC 180 Grad beträgt (es ist eine Gerade), können wir schreiben: α + β = 180 Grad.
- Nun betrachten wir das Dreieck ABC.
- Zeichne eine Parallele zur Seite BC durch Punkt A. Nennen wir den Schnittpunkt mit der Verlängerung der Seite AC als E.
- Verwenden wir erneut die Stufenwinkelregel, um die Stufenwinkel γ und δ zwischen den Winkeln BAC und CAE zu finden.
- Da BAC und CAE kongruent sind (sie benutzen denselben Bogen AC), sind die entsprechenden Stufenwinkel γ und δ gleich.
- Also können wir schreiben: γ = δ.
- Da γ + δ den gesamten Winkel AEB ausfüllt und AEB 180 Grad beträgt (es ist eine Gerade), können wir schreiben: γ + δ = 180 Grad.
- Da α + β = 180 Grad und γ + δ = 180 Grad, können wir die beiden Gleichungen zusammenfassen, um zu zeigen, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer 180 Grad beträgt:
α + β + γ + δ = 180 Grad.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RitterToby08/1584378644394_nmmslarge__43_0_196_196_060359107108e9d78f799637f51e4c9d.png?v=1584378644000)
Da lief einiges schief. Selbst wenn 14. korrekt wäre, müsste am Ende stehen:
α + β + γ + δ = 360 Grad,
was nicht gerade unserer Innenwinkelsumme entspricht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Onaxer/1706591308876_nmmslarge__0_0_742_742_d0cf277303ccadb617ca4d8054ba8592.jpg?v=1706591309000)
Hier wird es erklärt
https://www2.uni-wuerzburg.de/dmuw-vhb/demo/geo_cd_nbg/dreiecke/beweise/drset_iwisu.html
hier auch
.
![- (Geometrie, Dreieck)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/524919718/0_big.jpg?v=1701809144000)