Injektivität/ Surjektivität widerlegen Mitternachtsformel?

Hey Leute,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe und würde mich freuen, wenn mir wer die Aufgabe gut herunterbrechen könnte, da ich bei der Aufgabe immer wieder auf andere Ergebnisse und Ansätze komme:

Man untersuche auf Injektivität und Suejektivität (MIT RECHNERISCHEN BEWEIS): Seinen a,b,c Element der Reelen Zahlen (R) und h: R -> R, x |—> ax^2 + bx + c.

Kann sein, dass es sehr einfach ist, aber mich verwirren die Buchstaben einfach sehr und drehe mich nur im Kreis :D

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

hier mal eine Beweisidee. Sei p(x) := ax² + bx + c , a≠0

Grundsätzlich gilt: der Graph eines Polynoms p vom Grad 2 ist eine Parabel.

Jedes Polynom vom Grad 2 kann man in die Scheitelpunktform
p(x) = a(x + b')² + c' überführen:

$p\left(x\right)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right)=$

$a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}=a\left(x+b'\right)^2+c'$

$mit\ \ \ b'=\frac{b}{2a}\ ,\ \ \ c'=c-\frac{b^2}{4a}$

1) Ist a > 0 , dann ist der Scheitelpunkt S(-b' |c') von Graph(p) der Tiefpunkt der Parabel.

2) Ist a < 0, dann ist der Scheitelpunkt S(-b'|c') von Graph(p) der Hochpunkt der Parabel.

In beiden Fällen folgt, dass p : ℝ -> ℝ nicht surjektiv ist, denn

im Fall 1) gibt es kein x mit p(x) < c' ,

im Fall 2) gibt es kein x mit p(x) > c'

p ist auch nicht injektiv, denn für jedes h≠0 gilt

p(-b'+h) = p(-b'-h) (nachrechnen!)

Gruß

Comments

[Dragon568]

Danke für die Hilfe

[Dragon568]

Hatte eine Frage, hat sich aber geklärt war nur dumm :D Danke für die Tolle Erklärung

[eddiefox]

@Dragon568

Freut mich. :-)