Frage von CrazyD800, 51

Injektivität/ Surjektivität formal nachweisen?

Hallo zusammen, ich bin Erstsemester und habe bei folgender Erklärung Verständnisschwierigkeiten. Wenn ich Injektivität nachweisen soll, dann muss ich ja zeigen, dass x1=x2 gilt. Soweit so gut. Habe ich aber eine Funktion f(x)=x^2, die ja bekanntlich injektiv ist und setze x1^2 mit x2^2 gleich, dann komme ich doch auch auf x1=x2 ??? Dann hätte ich ja die Injektivität nachgewiesen, obwohl sie gar nicht existiert??? Und was ich mit der Surjaktivität anfangen kann, weiß ich auch nicht. Da kommt doch auch immer, wenn ich die Umkehrfunktion bilde y heraus, ganz egal, ob sie surjektiv ist oder nicht. BSP.: f(x)=2x+1 ist ja surjektiv. Also: f(y/2-1/2)=y Nehme ich aber wieder f(x)=x^2, die für R-->R nicht surjektiv ist, dann kommt doch da raus: f(Wurzel(y)=y Was ist da der Unterschied? Danke im Voraus

Antwort
von Rubezahl2000, 21

Du schreibst: "Funktion f(x)=x^2, die ja bekanntlich injektiv ist"
NEIN, f(x)=x² ist NICHT injektiv, da f(x) = f(-x) für alle x.

Für den Nachweis der Surjektivität von f(x)=x², IR→IR musst du prüfen, ob es für jede relle Zahl y eine reelle Zahl x gibt, so dass f(x)=x²=y.

Tipp: Überleg mal, ob es z.B. für y=-4 ein reelles x gibt, so dass x²=-4


Kommentar von CrazyD800 ,

Da habe ich mich aus Versehen verschrieben

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 21

Nachweis für Injektivität ist:

f(x1) = f(x2) → x1 = x2

da du weisst, dass y=x² nicht injektiv ist, genügt ein Gegenbsp.

f(-2)=f(2) = 4 aber -2 ungleich 2

Kommentar von Ellejolka ,

bei Surjektivität für y=x² brauchst du ja auch nur ein Gegenbsp.

Umkehrfunktion y= wurzel(x)    für -3 nicht reell

Kommentar von CrazyD800 ,

super! Das ist der Punkt! Also musss ich immer schauen, ob der Definitionsbereich/Wertebereich auf meine Umkehrfunktion zutrifft richtig?

Antwort
von Mikkey, 20

Aus x1² = x2² folgt eben nicht die Gleichheit von x1 und x2 (sondern nur, dass deren Beträge gleich sind).

Im zweiten Fall: Es ist nicht sinnvoll, die Umkehrfunktion zu bilden, ohne die bi (zumindest in-)-jektivität nachgewisen zu haben. Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem y aus der Zielmenge ein x aus der Definitionsmenge gibt, so dass f(x) = y. Zu -1 gibt es z.B. kein solches x (jedenfalls in R).

Antwort
von lks72, 17

Aus x1^ 2 = x2^2 folgt x1 = x2 oder x1 = - x2, also keine Injektivität, es sei denn, man beschränkt die Definitionsmenge auf die positiven oder auf die negativen Zahlen

Antwort
von kepfIe, 14

f(x)=x^2 ist nicht injektiv...

Kommentar von CrazyD800 ,

Da habe ich mmich aus Versehen verschrieben

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community