Frage von arssec, 142

Goldener Schnitt und Pi?

Was ist die Verbindung zwischen den Goldenen Schnitt und die Nummer Pi?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 104

Hallo,

hast Du Pi und Phi verwechselt?

Pi (π) ist das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises, während Phi (Φ) die Zahl des Goldenen Schnittes ist. Du bekommst sie, wenn Du folgende Gleichung löst: x²+x-1=0. Der Goldene Schnitt teilt eine Strecke nämlich so, daß sich der größere zum kleineren Streckenabschnitt verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Streckenabschnitt. Wenn die Gesamtstrecke die Länge 1 hat, gilt: x/(1-x)=1/x

Das kann man umformen zu x²=1-x, bzw. x²+x-1=0.

Die positive der beiden Lösungen ist 0,6180339887..., der längere der beiden Abschnitte. Der kürzere hat dann die Länge 1-0,6180339887=0,3819660113.

Wenn Du den längeren Abschnitt durch den kürzeren teilst,
bekommst Du Φ heraus: 1,618033988...

Um noch einmal auf π zurückzukommen: Wenn Du |2π-2π/Φ| rechnest, bekommst Du Psi (Ψ), den Goldenen Winkel heraus. Ihn erhältst Du, wenn Du einen Vollkreis nach dem Goldenen Schnitt teilst. Es sind etwa 137,5°.

Wenn Du es nachrechnest, mußt Du das Ergebnis noch durch 2π teilen und mit 360 multiplizieren, sonst bekommst Du nicht den Winkel, sondern das Bogenmaß von etwa 2,4 heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von arssec ,

Das wird mir auf jeden Fall weiterhelfen, danke Dir! :D

Antwort
von Lisa144, 25

Vor Kurzem selbst über Intuition entdeckt, gehe ich davon aus, dafür zumindest den Nobelpreis zu erhalten. Spaß beiseite.

Die ersten 12 Fibonacci-Zahlen miteinander multipliziert ergeben Pi-Halbe. Mit 2 multipliziert, heißt die schon genial angenäherte Zahl, nachdem sie auf die entsprechende Kommastelle zurück gesetzt ist: 3,140494156800.

Damit jedoch als Faktor am Ende das exakte Pi heraus kommt, dividierte ich das originale Pi, also das mit der exakten Nachkommastellen-Folge rückwärts: Pi / 2 / 144 / 89 / 55 / 34 / 21 / 13 / 8 / 5 / 3 / /2 und erhielt:

anstelle der zweiten "1" (bzw.der 2. Position) aus der Fibonaccireihe diese Zahl:
1,000349784694684020519125005773199759461541665 ..

Na, die gefiel mir natürlich sehr, denn mich störte schon immer ein wenig, dass zwischen den beiden ersten Einsen der Fibonaccizahlen so gar keine Differenz sein sollte.
Und abgerundet bleibt es dennoch eine ziemlich glatte Eins!
Die nächste Eins-Alternative unterhalb anstelle der ersten Fibonaccizahl "1" wäre dann logischerweie die Differenz zu 2 (der 3. Fibonaccizahlen-Position) :
0,999650215305315979480874994226800240538458335.
Auch da wieder kann ich nur sagen, wenn aufgerundet, ist dies doch ebenfalls eine ziemlich glatte "1".
Die Fibnoaccizahlen, nach meinem Konzept neu, fein abgestimmt wären also:

0,999650215305315979480874994226800240538458335
1,000349784694684020519125005773199759461541665
2
3
5
8, usw.

Und (aber) nur beginnend mit der zweiten Position, nämlich mit 1,0003497... ergibt das Multiplizieren bis 144 exakt Pi.

LG

Elisabeth Becker-Schmollmann

Kommentar von Lisa144 ,

Nachtrag zu meinem vorigen Kommentar:

Es geht sogar noch weiter:
Ausgehend von 0,999650215305315979480874994226800240538458335, dies

dividiert durch 144 / 89 / 55 usw. bis dividiert durch 3

ergibt die Zahlenfolge:

0.000000000001273239388955154103066376377760755132558

1 zu 1,273239 ist das Verhältnis von Kreisfläche zur Fläche ihres Um-Quadrats.

(Beispiel: Kreisfläche mit Durchmesser 2 =

3,1415... zu 4

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 77

Nicht verwechseln:

[A01622]= Phi= Φ =Goldener Schnitt(engl. golden ratio)

=(1 + sqrt(5))/2=1.61803398874989484820458683436563811772... 

A000796 = Kreiszahl Pi = acos(-1)= 3.14159265358979... 

Was viele nicht wissen (vermutlich nicht mal Dein Lehrer): es gibt wirklich eine Verbindung zwischen Pi und Phi:
http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
5.1. Zusammenhang von Pi und Phi (golden ratio, Goldener Schnitt, Fibonacci)

Kommentar von arssec ,

Danke für die Seite, aber ehrlich gesagt, das ist irgendwie zu kompliziert für mich. Mathe ist nicht mein Fach.. :/

Kommentar von hypergerd ,

OK, §5.1.a und c sind recht kompliziert, aber §5.1.c müsste ganau das sein, was Du suchst:

aus sin(54°)=sin(Pi*3/10)=(1+sqrt(5))/4=Phi/2

folgt 

Phi=2*cos(Pi/5)=2*sin(3*Pi/10)

und daraus folgt:

Pi = acos(Phi/2)*5=acos([(1+sqrt(5))/2]/2)*5
Pi = asin(Phi/2)*10/3 = asin([(1+sqrt(5))/2]/2)*10/3
Kommentar von hypergerd ,

Ich sehe gerade, dass es um eine Facharbeit geht. Es gibt auch eine Verbindung von Phi zu e:

http://www.gerdlamprecht.de/Eulersche_Zahl_A001113.html

aus

[A01622]=Phi=e^(asinh(1/2))

folgt 

e=Phi^(1/(asinh(1/2)))=A01622^(1/(asinh(1/2)))

=((1 + sqrt(5))/2)^(1/(asinh(1/2)))

Kommentar von arssec ,

Danke Dir! :D

Antwort
von Schachpapa, 73

Nicht Pi (3,14159...) sondern Phi = (1 + wurzel(5))/2 = 1,618...

Kann man aber leicht nachlesen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt

Kommentar von arssec ,

Glaub mir, ich habe alles mögliches durchgelesen, aber ich glaube schon, dass es eine Verbindung mit Pi auch gibt :D

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