E[ 1/n 𝚺yi^2] =? bei Poisson-Verteilung?

Hi,

Bin momentan gerade an einer Maximum Likelihood-Aufgabe und habe immer wieder das gleiche Problem:

Wenn ich die zweite Formel einsetze, dann passt das was ich bei ML nachweisen soll. Aber eigentlich ist die Varianz für die Poisson-Verteilung doch in Formel 1 definiert. Chat-GPT ist bei solchen Basics verhältnismässig okay, aber der springt auch bei jeder Frage von der einen Formel zur anderen.

Kann mir jemand erklären, wo genau der Unterschied liegt zwischen diesen Formeln, was korrekt ist und was ich für ML benutzen sollte?

Answer 1

[eterneladam]

Links steht E(Y^2), das ist gleich Var(Y) + E(Y)^2.

Bei der Poisson ist das weiter gleich lambda + lambda^2, wie es in der zweiten Formel steht.

Answer 2

[mihisu]

Die erste Formel ist falsch.

$\text{E}\left[\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}\right]\ne\text{Var}\left[y_i\right]$

Das wäre nur dann zufällig gleich, wenn der Erwartungswert von yᵢ gleich 0 wäre.

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Zunächst einmal kann man erkennen, dass gilt...

$\text{E}\left[\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}\right]=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\text{E}\left[{y}_{i}^{2}\right]$

Wenn nun die yᵢ² den gleichen Erwartungswert haben, weil sie beispielsweise identisch verteilt sind.

$\text{E}\left[\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}\right]=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\text{E}\left[{y}_{i}^{2}\right]=\overbrace{\frac{1}{n}\cdot n\cdot \text{E}\left[{y}_{i}^{2}\right]=\text{E}\left[{y}_{i}^{2}\right]}^{\text{für beliebiges }i\in\left\lbrace 1,\dots, n\right\rbrace}$

Das ist jedoch nun nicht unbedingt gleich Var[yᵢ]...

$\text{Var}\left[y_i\right]\ne\text{E}\left[y_i^2\right]$

Denn nach Verschiebungssatz gilt stattdessen...

$\text{Var}\left[y_i\right]=\text{E}\left[y_i^2\right]-\left(\text{E}\left[y_i\right]\right)^2$

Bzw. also...

$\text{E}\left[y_i^2\right]=\text{Var}\left[y_i\right]+\left(\text{E}\left[y_i\right]\right)^2\ne\text{Var}\left[y_i\right]$

Nur wenn zufälligerweise (E[yᵢ])² = 0 wäre, wäre das dann doch gleich.

Dementsprechend erhält man dann auch im konkreten Fall...

$\text{E}\left[\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}\right]=\text{E}\left[{y}_{i}^{2}\right]=\text{Var}\left[y_i\right]+\left(\text{E}\left[{y}_{i}\right]\right)^2=\lambda+\lambda^2$

$\text{E}\left[\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}\right]=\text{E}\left[{y}_{i}^{2}\right]\ne\text{Var}\left[y_i\right]=\lambda$

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Chat-GPT ist bei solchen Basics verhältnismässig okay, aber der springt auch bei jeder Frage von der einen Formel zur anderen.

Chat-GPT kannst du bei Mathematik vergessen. Chat-GPT kann nicht rechnen. Selbst bei einfachsten Aufgaben auf Grundschulniveau scheitert Chat-GPT des Öfteren. Chat-GPT kann dir sprachlich zusammenfassen, was es in seiner Datenbank gespeichert hat, aber selbst nicht wirklich rechnen oder denken.