Das 3 Kasten Problem richtig gelöst?
Ich wollte mal die Mathechamps hier fragen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe, weil irgendwie hab ich das Gefühl das ich da was nicht so ganz verstanden habe bzw. will ich umbedingt die Aufgabe richtig verstehen; Wäre nett wenn mir jemand das nochmal erklären könnte.
Aufgabe:
‘‘Gegeben sind drei Kästen mit je zwei Schubladen. In jeder Schublade liegt eine Münze; im ersten Kasten Gold-Gold; im zweiten Kasten Silber-Silber; im dritten Kasten Gold-Silber, Ich wähle einen Kasten, ziehe eine Schublade und sehe eine Goldmünze. Mit welcher hierdurch bedingten Wahrscheinlichkeit ist in der anderen Schublade meines Kastens auch eine Goldmünze?‘‘
Meine Lösung:
Die Gesuchte Wahrscheinlichkeit wäre in dem Fall also P[G,G], wir wollen also wissen mit welcher Wahrscheinlichkeit wir den Kasten mit beiden Goldmünzen aus den dreien auswählen. Nach der Aufgabenstellung nach haben wir ja bereits eine Goldmünze gefunden, müssen also Kasten 1 oder aber Kasten 3 erwischt haben, da Kasten 2 ja gar keine Goldmünze beinhaltet. Wir haben jetzt also 2 Kästen mit 4 Schubladen übrig, die Wahrscheinlichkeit zweimal Gold zu zie-hen wäre 2/4 also ½, damit also 50%.
2 Antworten
Aufgabe:
‘‘Gegeben sind drei Kästen mit je zwei Schubladen. In jeder Schublade liegt eine Münze; im ersten Kasten Gold-Gold; im zweiten Kasten Silber-Silber; im dritten Kasten Gold-Silber, Ich wähle einen Kasten, ziehe eine Schublade und sehe eine Goldmünze. Mit welcher hierdurch bedingten Wahrscheinlichkeit ist in der anderen Schublade meines Kastens auch eine Goldmünze?‘‘
Meine Lösung:
Die Gesuchte Wahrscheinlichkeit wäre in dem Fall also P[G,G], wir wollen also wissen mit welcher Wahrscheinlichkeit wir den Kasten mit beiden Goldmünzen aus den dreien auswählen. Nach der Aufgabenstellung nach haben wir ja bereits eine Goldmünze gefunden, müssen also Kasten 1 oder aber Kasten 3 erwischt haben, da Kasten 2 ja gar keine Goldmünze beinhaltet. Wir haben jetzt also 2 Kästen mit 4 Schubladen übrig, die Wahrscheinlichkeit zweimal Gold zu zie-hen wäre 2/4 also ½, damit also 50%.
Hallo Boredoom,
leider stimmt deine Überlegung doch nicht so ganz. Wenn du nach der Wahl eines Kastens und dem Öffnen einer Schublade darin eine Goldmünze findest, dann war der Kasten sicher nicht der mit den 2 Silbermünzen. Soweit ist deine Überlegung richtig. Jetzt kommt aber der interessante Punkt: wenn du die Goldmünze entdeckst, so muss es entweder Kasten 1 oder Kasten 3 sein : ja, auch richtig - ABER: diese beiden Möglichkeiten haben nicht dieselbe (bedingte) Wahrscheinlichkeit !
Darum ist es falsch, wenn du die beiden Möglichkeiten ("Kasten 1" oder "Kasten 3") in der weiteren Rechnung gleich gewichtest !
Man muss stattdessen so rechnen:
P(2. Münze auch Gold | 1. Münze Gold) = 2/3 * 1 + 1/3 * 0 = 2/3
Naja - jedenfalls finde ich die Aufgabe recht cool !
Auch mit guten Fachkenntnissen kann man da zwischendurch ins Zweifeln kommen ...
Es gäbe übrigens noch folgende Lösungsmöglichkeit:
1.) Die W'keit, in der ersten geöffneten Schublade "Gold" anzutreffen, beträgt 3/6 = 1/2 (denn in 3 von insgesamt 6 Schubladen liegt eine goldene Münze)
2.) Die W'keit für "Gold + Gold" ist gleich 1/3 (denn das geschieht nur genau in dem einen Fall (von 3 gleich wahrscheinlichen), dass man zuerst auf Kiste 1 tippt
Daraus kann man nun (auch wegen der Unabhängigkeit der betrachteten Ziehungen) schließen, dass
P(Gold | Gold) = (1/3) / (1/2) = 2/3 sein muss.
Ja stimmt
DANKESCHÖN!
Dachte mir schon, dass ich da irgendwo nen ganz doofen Denkfehler drin habe. :)