Beweis in Mathe (kurz) allgemeines Dreieck?
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Danke schonmal
1 Antwort
Hallo,
betrachte das Bild.
Die gängige Formel für die Fläche eines Dreiecks berechnet sich nach halber Grundseite mal Höhe.
Welche Seite Du als Grundseite nimmst, ist dabei egal.
Ich wähle mal c.
Dann gilt: F=(1/2)c*h.
Betrachte das Teildreieck ABM. Der Punkt Mc halbiert die Strecke c, denn er ist der Fußpunkt der Mittelsenkrechte auf c, von der ich nur den Teil M-Mc (mc) abgebildet habe, denn M , der Mittelpunkt des Umkreises, ist gleichzeitig der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. mc und c stehen also senkrecht aufeinander. Das Dreieck ABM wird durch mc in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke unterteilt, denn ABM ist gleichschenklig, da AM=BM=r gilt.
Winkel AMMc ist gleich Winkel ACB (w3), denn er ist der halbe Winkel AMB und damit als halber Mittelpunktwinkel über demselben Bogen gleich dem Peripheriewinkel (Peripheriewinkelsatz).
AMc ist gleich c/2, denn Mc teilt c genau in der Mitte.
Somit ist c/2 gleich r*sin (w3).
Dann kommt in der Flächenformel noch h vor, die Höhe von Punkt C auf c.
h ist gleich b*sin (w1).
b/2 ist r*sin (w2) und somit ist b gleich 2r*sin (w2).
Damit ist h=2r*sin (w2)*sin (w1).
Jetzt haben wir alles zusammen:
F=c/2*h=r*sin(w3)*2r*sin(w2)*sin(w1) oder zusammengefaßt und sortiert gleich
2r²*sin (w1)*sin(w2)*sin(w3) mit w1=alpha, w2=beta und w3=gamma.
Herzliche Grüße,
Willy
