Frage von Naydoult, 59

Beweis durch vollständige Induktion für das Distributivgesetz?

∀ a, b, c ∈ IN: a·(b+c) = a·b+a·c

So lautet die Behauptung, nun wird für die Variable c der Induktionsbeginn usw gemacht. Gezeigt wird auch das die Voraussetzung gilt.

Ich verstehe bloß nicht wodurch nun das Distributivgesetz bewiesen ist, kann mir das jemand mal präzise und einfach erklären?

Mein Gedanke ist das man doch noch dasselbe mit a und b machen muss bzw alles gleichzeitig?

Schonmal Danke im Voraus.

Antwort
von DinoMath, 43

wenn du über c den Induktionsbeweis laufen lässt, dabei a und b beliebig gewählt sind, dann bist du fertig.

wichtig ist halt welche Axiome der Natürlichen Zahlen darfst du verwenden?
ist in IN die Null enthalten?

Ich hab mich mal dran versucht, aber mir fehlt irgendetwas, was du verwenden darfst, ich aber nicht verwendet habe und deshalb gescheitert bin...

Ich glaube ja für c=0 ist a*(b+c) = a*(b+0) = a*b {Definition von 0} = a*b + a*0 {Definition von 0}

Weiterhin sei die Aussage für ein beliebiges c bereits bewiesen, dann gilt für c+1:
a*(b+(c+1)) = a*(b+(1+c)) = a*((b+1)+c) = a*(b+1) + a*c nach Voraussetzung
Um hier weiter zu kommen hätte das bereits für c=1 bewiesen sein müssen, was ich gerade nicht sehe.

Vielleicht hilfts dir weiter, ansonsten schreib doch mal bitte was man verwenden darf.

Kommentar von Naydoult ,

Stimmt, verwendet werden darf das Kommutativgesetz und die Regel: y(x+1) = yx+y von der ich den Namen nicht weiß. ^^

Bewiesen habe ich ja bereits.

Kommentar von DinoMath ,

achso, na dann nehme deinen Satz und meinen Ansatz udn zusammen funktioniert das dann. Zumidnest für alle natürlichen Zahlen ohne Null (irgendwie habe ich das Gefühl jeder sieht die Null mal als Teil der Natürlichen Zahlen an und mal nicht, darum weiss ich es selbst nie^^)

Kommentar von DinoMath ,

evtl fängst du mit der 1 an und machst das "per Hand", also:

a*(b+1) = b+1+b+1+b+1+...+b+1 {a mal} = b+b+...+b+1+1+...+1 = a*b + a*1, aber wer das so beweist braucht auch keinen Induktionsbeweis mehr^^

Kommentar von Naydoult ,

Doch schon, aber wäre wohl ein anderer Schritt als zu zeigen das a*(b+1) = a*b+a ist. :D

Ob die 0 dazu gehört oder nicht ist bei jedem anders. Also mit 1 bekomme ich den Induktionsbeweis nicht hin. ^^

Kommentar von DinoMath ,

du meintest doch für c=1 hättest du das schon vorher bewiesen, oder verstehe ich dich jetzt falsch?

Wie denn, wenn nicht wie eben angedeutet "a*(b+1) = b+1+b+1+b+1+...+b+1 {a mal} = b+b+...+b+1+1+...+1 = a*b + a*1" ?
Wenn so: ersetze 1 durch c, funktioniert exakt genauso, einfach aus der Definition von * und weil man in einer Addition die einzelnen Teile beliebig vertauschen kann (solangs nur endlich viele sind ;-) )

Kommentar von Naydoult ,

Für c = 1 funktioniert es nicht, allerdings für c = 0.

Kommentar von DinoMath ,

bin mir gerade nicht sicher ob wir uns da richtig verstehen.

Sollte aber für c=1 gehen...

Kommentar von Naydoult ,

Wie schon gesagt, zumindest ich habe es nicht hinbekommen. ^^

Kommentar von DinoMath ,

du schriebst aber doch "verwendet werden darf das Kommutativgesetz und die Regel: y(x+1) = yx+y"

letzteres ist doch genau das, was du brauchst (der Fall c=1)

Kommentar von Naydoult ,

Völlig übersehen, stimmt natürlich. ^^

Kommentar von DinoMath ,

darum meinte ich ja mein Ansatz mit deinem Satz kombiniert beweist doch, was zu beweisen war. qed.

oder nicht?

Antwort
von iokii, 37

a und b sind doch von Anfang an beliebig, oder nicht?

Kommentar von Naydoult ,

Aber c ist doch ebenfalls beliebig, schließlich sind doch unendlich
Kombinationen was a, b und c sein können? Demnach muss man doch für
jedes für n+1 und n_0 beweisen? So mein Gedanke, was übersehe ich?

Kommentar von iokii ,

Für beliebige a,b beweist du induktiv, dass es für alle c gilt. Insgesamt gilt die Aussage dann für beliebige a,b,c.

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