Bestimmen Sie den differenzenquotienten im vorgegebenen Intervall geometrisch?
Ich muss bis morgen diese Aufgaben lösen. Kann mir jemand helfen? Oder eine der Aufgaben vorrechnen, damit ich mich an diesen orientieren kann?
Aufgabe 1,3,4
2 Antworten
Hallo Lahoe! :)
Gern! ;)
Der Differenzenquotient ist die mittlere bzw. durchschnittliche Änderungsrate und damit die Sekantensteigung.
Eine Sekante ist in der Mathematik eine Gerade, die eine Funktion f in 2 Punkten schneidet.
Bei Nummer 1 sollst du den Differenzenquotienten zeichnerisch bestimmen. Das heißt, du markierst dir jeweils die 2 Punkte, die im Intervall angegeben sind und ziehst eine Gerade durch diese beiden Punkte. Jetzt ließt du die Steigung mit dem Steigungsdreieck wie bei den linearen Funktionen ab. Das ist dann der Differenzenquotient in dem gegebenen Intervall.
Nummer 2:
Hier berechnest du die durchschnittliche Steigung zwischen diesen Beiden Punkten, die hier mit einem Intervall angegeben sind.
Du sollst also nun berechnen, wie hoch die Steigung m in den gegebenen Intervallen durchschnittlich ist.
Dazu bildest du zuerst die Ableitung, um die (Tangenten-) Steigung in den Punkten berechnen zu können:
Nr. 2:
a)
f(x) = x² - x
f'(x) = 2x - 1
Jetzt stellst du den Differenzenquotienten auf. Du rechnest jetzt quasi die Steigung wie damals bei den linearen Funktionen mit folgender Formel:
m = (y2-y1) : (x2-x1)
Dafür brauchst du aber eben erst die Steigung aus den 2 Punkten im Intervall.
Das gegebene Intervall ist hier folgendes:
I = [2;5]
Jetzt berechnen wir die Steigung an den Stellen x=2 und x=5, um die Steigung in diesen Punkten zu bekommen, indem wir in die Ableitung einsetzen:
f'(x) = 2x - 1
f'(2) = 2*2 - 1
f'(2) = 3
f'(5) = 2*5 - 1
f'(5) = 9
Das setzen wir jetzt in die Formel ein:
m = (9-3) : (5-2)
m = 2
Damit haben wir den Differenzenquotienten im Intervall von I=[2;5] berechnet. Die durchschnittliche Steigung in dem Intervall beträgt m=2.
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Bei Fragen und Anregungen einfach melden! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Hallo,
das bedeutet, daß Du den Quotienten nicht rechnerisch, sondern zeichnerisch ermitteln sollst.
Du verbindest zwei Punkte auf dem Graphen, die senkrecht über den beiden Intervallgrenzen liegen, mit einer Geraden und mißt den Winkel, den diese Gerade mit der x-Achse bildet.
Der Tangens dieses Winkels ist der Differenzenquotient, also die Steigung besagter Gerade (Sekante).
Herzliche Grüße,
Willy