Alle Äquivalenzklassen der Nerode-Relation von L bestimmen?
Ich habe eine gegebene Sprache L3, die die zwei Sprachen L1 und L2 vereinigt.
L1 ist hierbei =: {(ab)^i mit i ≥ 0} und
L2 ist =: {(aab)^i mit i ≥ 0}
Von der Sprache L3, also L1 ∪ L2, soll ich nun alle Äquivalenzklassen der Nerode-Relation bestimmen. Die akzeptierten Wörter dieser Sprache sind also alle Wörter, die eine Abfolge von ab darstellen [ab], alle Wörter, die eine Abfolge [aab] darstellen und das leere Wort e. Der Rest sind illegale Eingaben, die der Automat nicht akzeptieren kann. Womit ich jetzt ein Problem habe ist, dass bei der Nerode Relation gelten soll: Index(RL) >= Anzahl der Zustaende des Äquivalenzklassenautomats. Muss ich jetzt noch einen zeichnen oder kann ich die Aufgabe auch so lösen?
1 Antwort
Um alle Äquivalenzklassen der Nerode-Relation von L3 zu bestimmen, müssen wir zunächst verstehen, was die Nerode-Relation ist und wie sie sich auf eine bestimmte Sprache bezieht.
Die Nerode-Relation ist eine Relation auf der Menge aller Wörter in einer Sprache L. Sie ist wie folgt definiert: Für zwei beliebige Wörter w1 und w2 in L ist w1 mit w2 verwandt (geschrieben als w1 ~ w2), wenn und nur wenn für alle Wörter z in L, wenn w1z in L ist, dann ist w2z auch in L.
Mit anderen Worten, die Nerode-Relation sagt uns, ob zwei Wörter in einer Sprache L durch die Wörter, die an sie angehängt werden können, unterschieden werden können. Wenn zwei Wörter auf diese Weise nicht unterschieden werden können, dann werden sie gemäß der Nerode-Relation als äquivalent betrachtet.
Betrachten wir nun die Sprache L3 = L1 ∪ L2. Die Wörter in L3 sind alle Wörter, die durch die folgende Grammatik erzeugt werden können:
S -> abS | aabS | e
wobei "abS" "ab gefolgt von S" bedeutet, "aabS" "aab gefolgt von S" und "e" das leere Wort ist.
Um die Äquivalenzklassen der Nerode-Relation für L3 zu bestimmen, können wir damit beginnen, die Wörter in L3 zu betrachten und zu prüfen, ob sie unter der Nerode-Relation miteinander verwandt sind. Für jedes Wortpaar können wir prüfen, ob sie sich durch die Wörter, die an sie angehängt werden können, unterscheiden lassen. Wenn sie nicht unterschieden werden können, dann sind sie unter der Nerode-Relation äquivalent und gehören zur gleichen Äquivalenzklasse.
Betrachten wir zum Beispiel die Wörter "ab" und "aab" in L3. Wir können sehen, dass beide Wörter an das Wort "ab" angehängt werden können, um das Wort "abab" zu erzeugen, das in L3 ist. Das bedeutet, dass "ab" und "aab" nicht durch die Wörter unterschieden werden können, die an sie angehängt werden können, und daher sind sie nach der Nerode-Relation gleichwertig.
Ähnlich können wir das Wort "abab" in L3 betrachten. Wir können sehen, dass es an das Wort "ab" angehängt werden kann, um das Wort "