Ableitung von Integralfunktion?

Wie kommt man hier zur Lösung?

Answer 1

[mihisu]

Hinweis: Ich würde das Integral nicht ausrechnen. Das ist für die Aufgabe gar nicht notwendig. Stattdessen hilft der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

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Zur besseren Übersicht führe ich zwei Bezeichnungen „g“ und „G“ folgendermaßen ein...

$g(t) = \frac{2}{t^2-1}$

$G(\tau) = \int\limits_{0}^{\tau}g(t)\,\text{d}t=\int\limits_{0}^{\tau}\frac{2}{t^2-1}\,\text{d}t$

Nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (manchmal auch Fundamentalsatz der Analysis genannt) gilt dann...

$G'(\tau)=g(\tau)$

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Wie hilft dies nun beim Lösen der Aufgabe? Offensichtlich gilt...

$f(x)=G(\sin(x))$

Entsprechend der Kettenregel erhalt wir dann...

$f'(x)=G'(\sin(x))\cdot \sin'(x)$

Dass sin′ = cos ist, sollte dir bekannt sein. Und G′ = g ergibt sich aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Damit erhalten wir dann weiter...

$f'(x)=g(\sin(x))\cdot \cos(x)$

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{2}{\left(\sin(x)\right)^2-1}\cdot \cos(x)$

Das lässt sich nun noch etwas vereinfachen, indem man den trigonometrischen Pythagoras cos² + sin² = 1 und dementsprechend dann sin² = 1 - cos² verwendet.

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{2}{1-\left(\cos(x)\right)^2-1}\cdot\cos(x)$

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{2}{-\left(\cos(x)\right)^2}\cdot\cos(x)$

$\rightarrow\quad f'(x)=-\frac{2}{\cos(x)}$

Answer 2

[ChrisGE1267]

Sei F eine Stammfunktion von 2/(x^2 - 1). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der Kettenregel und auf Grund von sin^2(x) + cos^2(x) = 1, also sin^2(x) - 1 = -cos^2(x), gilt:

f‘(x) = d/dx F(sin(x))= d/d Sin(x) F(sin(x)) * d/dx sin(x) = 2/(sin^2(x) - 1) * cos(x)

= 2/(- cos^2(x)) * cos(x) = -2/cos(x)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie