Es ist wirklich nicht gerade leicht, in Berlin eine Wohnung zu finden - insbesondere eine bezahlbare. Du brauchst so gut wie immer eine Mietschuldenfreiheits-Bescheinigung vom bisherigen Vermieter, eine Schufa-Auskunft und Gehaltsnachweis für die letzten drei Monate. In deinem Fall dann eine Bestätigung, dass das Amt die Miete übernimmt. Das sehen manche Vermieter gar nicht so ungern, weil da die Miete sicher ist. Sie darf eben nicht höher sein, als das Amt bereit ist zu zahlen - klar.
Du könntest probeweise nach Wohnungen schauen und sehen, wie Gespräche und Besichtigungstermine verlaufen. Oder direkt bei Wohnbaugesellschaften nachfragen, ob sie passende Wohnung für dich im Angebot haben. Prinzipiell würde ich der Sachbearbeiterin aber keine 'unlauteren Motive' unterstellen, wie dich kleinzumachen. Kann schon auch sein, dass sie nicht falsch liegt. lg und alles Gute!