Auch auf die Gefahr hin, dass du mich auch gleich als "voll Pfosten" beschimpfen wirst, aber wer kann niemals ein Demonstrativpronomen sein. Die drei Möglichkeiten sind Interrogativpronomen (Wer verdient wenig Geld?), Relativpronomen (Wer wenig Geld verdient hat es schwer.) und Indefinitpronomen (Peter ist wer in seiner Firma.)

In deinem Beispiel ist wer dem entsprechend ein Relativpronomen, und zwar stellt es eine Relation her zu der Frage Wer steckt den Kopf in den Sand?

Die kurze Antwort ist: nach dem aktuellen Duden sind alle vier Formen korrekt (Friseurin, Frisörin, Friseuse, Frisöse).

Jetzt die lange Antwort: Friseur/Friseuse ist die älteste Wortform. An das Wort "frisieren" wurde die französische Endung "-eur" bzw. "-euse" angehängt. (Das Wort "Friseur" gibt es im Französischen nicht, es heißt dort "coiffeur".)
Später wurde die Endung "eingedeutscht", d.h. ihre Schreibung der Aussprache angepasst nach deutschen Regeln (im Dt. wird <eu> wie [oe] ausgesprochen und <ö> eben wie [ö]). Dadurch entstand das Frisör/Frisöse.
Die anderen Formen sind im Wesentlichen den 'FeministInnen' zuzuschreiben. Weil der Ausdruck Frisöse/Friseuse mit einem bestimmten Image belegt ist ("dummes Blondchen", vgl. den Musiktitel "10 nackte Frisösen"), besteht man darauf, dass als Berufsbezeichnung Friseurin/Frisörin verwendet wird. Natürlich kann das keinen Erfolg haben, weil sowohl Friseuse/Frisöse, als auch Friseurin/Frisörin nur Wörter sind und das Konzept im Kopf des Sprechers das Gleiche bleibt und sich nicht mit ändert.

Meine Empfehlung an dich wäre deshalb, das Wort Frisörin zu nehmen, weil
1) "eu" vom Duden als 'veraltend' eingestuft wird, "ö" ist also die aktuellere Variante.
2) Diese Variante "politisch korrekter" ist, d.h. es wird neutraler und weniger verächtlich wahrgenommen als "Frisöse". (Ob das wirklich so ist, wage ich anzuzweifeln.)