Hinsichtlich Betrieb und Organisation muss zwischen Schulträgerschaft und Rechtsträgerschaft unterschieden werden:

Die Schulträgerschaft betrifft die Verpflichtung zur Vorhaltung von Gebäuden und zum Tragen des sonstigen Sachaufwands für den Schulbetrieb. Sie liegt typischerweise bei den Gemeinden oder Landkreisen.

Die Rechtsträgerschaft betrifft dagegen die organisationsrechtliche Zugehörigkeit, welche sich nach der konkreten Organisationsform einer Schule richtet. In Thüringen etwa sind staatliche (nicht private) Schulen gem. § 13 I 2 ThürSchulG nicht rechtsfähige Anstalten des öffentlichen Rechts, sodass sie mangels eigener Rechtsfähigkeit organisationsrechtlich dem Bundesland Thüringen organisationsrechtlich zuzurechnen sind; in dem Fall wäre also das Land Thüringen der Rechtsträger, gegen den bspw. eine verwaltungsgerichtliche Klage zu richten wäre.