Da hast du leider einiges falsch gemacht: Beim Einzug bei deinem Partner hättest du dich sofort beim Meldeamt ummelden müssen und beim Beitragsservice abmelden. Denn du hättest dich abmelden können, weil ja pro Wohnung nur einmal gezahlt werden muss und dein Partner das für eure gemeinsame Wohnung bereits tat.
Das Problem besteht nun darin, dass du eigentlich nicht nachweisen kannst, dass du seit 2 Jahren bereits bei deinem Partner wohnst. In § 2 Abs. 2 Satz 1 Rundfunkbeitragsstaatsvertrag wird nämlich gesetzlich vermutet, dass du die neue Wohnung erst seit deiner Ummeldung beim Meldeamt bezogen hast oder im Mietvertrag als Mieter genannt bist. Diese gesetzliche Vermutung müsstest du nun widerlegen können.
Die einzige Möglichkeit, die ich sehe, ist ein Brief an die Geschäftsleitung des Beitragsservice, in der du den Sachverhalt darlegst und darauf verweist, dass der Beitragsservice ja selbst die Post für die alte Wohnung an deine neue Adresse gesandt hat und du daher um Niederschlagung der Forderung bittest. Evtl. solltest du vorher auch noch zum Meldeamt gehen und deine Umzugsmeldung korrigieren. dann hättest du einen Nachweis.
Was ich nicht verstehe: Wieso gibt es jetzt für 2 Jahre eine Nachzahlung für die alte Wohnung, wo du doch offensichtlich die ganze Zeit die Rechnungen dafür vom Beitragsservice bekommen hast. Hast du die Rechnungen nicht bezahlt? Hast du sie nicht wenigstens zum Anlass genommen, die tatsächliche Situation dem Beitragsservice mitzuteilen. dann wäre es jetzt nicht zu der Situation gekommen.