Konvergenz einer Folge a_n gegen a bedeutet ja, dass es zu jedem ε>0 einen Index N gibt, sodass |a_n-a|<ε für alle n>= N ist.

Angenommen, die erste Aussage, also (i), stimmt. Sei ε>0, dann gibt es ein N, sodass |a_n|<ε für alle n>N ist. Dann ist aber auch | |a_n| | = |a_n|<ε, das heißt die Folge |a_n| konvergiert ebenfalls gegen 0, also gilt auch (ii).

Jetzt kannst du (ii) => (iii) zeigen usw.

Das liegt an der Äquivalenz von träger und schwerer Masse: für a= F/m(träge) gilt mit der Näherung F=g*m(schwer) für dir Gewichtskraft auf der Erdoberfläche offensichtlich a=g unabhängig von der Masse, sofern nur m(träge)=m(schwer) ist.