Das geht über externe Capture Geräte. Die Gängigsten kommen von Elgato. Die kosten je nach Funktionsumfang 100-200€. 

https://www.amazon.de/gp/aw/d/B0082J1YCE/

Das wäre so einer. 

Aufbau ist dann so:

Spiele PC -> HDMI -> Elgato -> HDMI -> Monitor

Von dem Elgato geht dann ein USB Kabel in den zweiten PC, der so das Bild und den Ton vom Ersten bekommt.

In Streaming Programmen wie XSPLIT oder OBS kann man dann das Capture Gerät als Quelle auswählen. 

Nein, du kannst in diesem PC keine normale Grafikkarte verbauen, da die nötige Höhe nicht gegeben ist.

Zudem hast du auch nur Platz für eine Single Slot Karte, die 750 aus deinem Amazon Link ist eine Dual Slot Karte, die würde da also aus 2 Gründen nicht rein passen.

Es wäre möglich eine Karte mit halber Slot Höhe zu installieren, dies sind aber meist Erweiterungskarten wie Netzwerk- oder Sound-Karten oder TV Tuner. Grafikkarten in diesem Format gibt es zwar, Beispiele sind die Radeon R5 230 oder die Nvidia GT 710, die haben allerdings nochmal DEUTLICH weniger Leistung als die ohnehin schon sehr schwache GTX 750.