Tiere gelten als Fundsachen und werden rechtlich entsprechend behandelt. Man ist also verpflichtet, den Fund den örtlichen Behörden (Polizei, Fundbüro, Veterinäramt, Tierheim o.ä.) zur Anzeige zu bringen. Folgend wird das Tier für ein halbes Jahr in Pflege genommen. In dieser Zeit bleibt es Eigentum des Besitzers (Verlierer), der natürlich für die Pflegekosten (Futter, Tierarzt, Medikamente pp.) aufkommen muss. Ob das Tier in dieser Zeit beim Finder belassen werden kann liegt im Ermessen des Fundbüros (Tierheim pp.), ansonsten ist es tierschutzgerecht woanders (z.B. im Tierheim) unterzubringen. Der Besitzer hat nun Gelegenheit in diesem Zeitraum sein Tier zurück zu holen (Eigentumsnachweis irgendeiner Art (z.B. Foto, Kaufrechnung pp.) muss erbracht werden).
Für den "Pfleger" heißt das, er darf das Tier in dieser Zeit nicht verkaufen, verschänken oder gar einschläfern usw..
Das gilt auch für das Tierheim!
Erst nach dieser wartefrist von 1/2 Jahr geht das Tier ins Eigentum des "Pflegers" (wenn der es möchte oder der für den Fundort zuständigen Stelle der Gemeinde (meist Tierheim) über und kann danach natürlich auch verkauft werden.
Das von Ihnen geschilderte legt den verdacht einer Fundunterschlagung durch das Tierheim nahe! Dieses Verhalten kann bei der örtlichen Polizei angezeigt werden. In jkedem Fall sollte man sich bei der für das Tierheim zuständigen Aufsichtsstelle der Gemeinde (z.B. Ordnungs- oder Veterinäramt) beschweren, bzw. dieses Verhalten zur Kenntnis geben und anmelden, dass man als Finder von seinem Fundrecht Gebrauch machen möchte, falls sich kein Eigentümer meldet.
Das heißt, dass der Kater nach spätestens einem halben Jahr in Ihren Besitz übergehen kann, wenn sie die Pflegekosten des Tierheims für diesen Zeitraum übernehmen! (es gilt das allgemeine Fundrecht nach BGB!)
Viel Glück