Die Fläche einer Funktion, z.B. f(x) erhältst du nur durch das bestimmte integral. Einfaches einsetzen von x ergibt nicht gleich die Fläche. Mit der Stammfunktion kannst du die Nullstellen und Wendepunkte deiner Ausgangsfunktion berechnen, was aber eigentlich nie benutzt wird. Ich habe bisher nur das Integral hergenommen, wenn ich die Fläche unter einem Graphen berechnen will.
Das verändern von C hat eigentlich keinen direkten Einfluss auf irgend was. Da das C beim Differenzieren wieder "verschwindet" kannst du dafür einsetzten was du willst. Heraus kommt bei Differenzieren immer deiner Ausgangsfunktion.