Diese Annahmefrist dient dem Schutz des Antragenden. Dieser ist nämlich an den Antrag gebunden (§ 145 BGB), d.h. er kann die Leistung währenddessen keinem anderen anbieten. Der Wenn die Frist verstrichen ist, erlischt der Antrag (§ 146 BGB) und er kann ein neues Angebot machen, entweder an die gleiche Person oder an eine andere.

Beispiel:

Auf dem Flohmarkt sieht A ein altes Regal, für das er Interesse hat. Er fragt den Verkäufer V nach dem Kaufpreis. Dieser antwortet " Ich biete es Ihnen für 10 € an" (Antrag bzw. Angebot). Nun möchte A es sich noch einmal überlegen und daher bestimmt V für die Annahme eine Frist von einer Stunde nach § 148 BGB. Die Frist dient hier dem Schutz des V, da dieser sein Regal loswerden möchte und deswegen nach Ablauf der Frist an andere Personen verkaufen kann.

Ich hoffe, das war soweit verständlich.

Das kommt darauf an, ob der Vertragspartner trotzdem weiß, mit wem er den Vertrag abgeschlossen hat (essentialia negotii), also ob es auch in dessen Willen geschah oder nicht. 

Rechtsverbindlich und zulässig ist die Unterschrift mit einem Künstlernamen, wenn die als Aussteller in Betracht kommende Person ohne Zweifel feststeht (BGH NJW 1996, 997).

Ich finde es zwar nicht optimal, aber das kannst du. Bei farblich auffälligen Haaren passt etwas farblich schlichteres meist besser.

Das schreibt man klein ("dreiwöchig"), da es sich, wie unten schon erwähnt, um ein Adjektiv handelt. Ich würde dir außerdem empfehlen, deinen Satz in "hiermit bewerbe ich mich bei Ihnen für ein dreiwöchiges Praktikum" umformulieren.