Was das Amt angeht würde ich von Formulierungen wie "vorrübergehende" Trennung etc. Abstand nehmen. Der Anspruch auf Alg2 besteht nur, wenn du hilfebedürftig bist, sprich dein Partner zieht jetzt aus und somit bist du mittellos und auf Hilfe angewiesen. Die Miete zahlt sich auch nicht von allein.
Wenn das Amt an dich zahlt, werden diese allerdings auch an den Partner herantreten, um Unterhalt für dich (falls verheiratet) oder für die Kinder einzufordern (falls seine leiblichen Kinder).
Grundsätzlich kannst du einen Antrag stellen, sobald du hilfebedürftig bist.
Wenn dein Partner in seine eigene Wohung auszieht und sich polizeilich dort meldet, dann kannst du den Antrag stellen, bzw. denke ich auch bereits im Vorfeld, wenn der Termin feststeht, du kannst ja die Meldebescheinigung ggf. an Tag x nachreichen.
Es steht dabei nicht zu erwarten, dass kurzfristig das Amt die Zahnbürsten nachzählt. Viele Paare leben sogar innerhalb einer Wohnung getrennt und erhalten Leistungen.
Wenn dein Partner zu Besuch kommt, um die Kinder zu sehen, spricht das nicht gegen einen Bezug von Alg2, er hat ja wohl nicht vor eine eigene Wohnung zu mieten und weiter wie zuvor bei dir zu leben, oder?
Ich wünsche dir alles Gute!