Prinzipiell musst du das buffern.
Dazu musst du aber den output aus dem Screen in text Form auslesen. Allerdings wird ja alles vom Minecraft Server geloggt , in der latest.log datei.
Prinzipiell könntest du alle x Sekunden auf deiner Website mit JavaScript einen Ajax request an dein php senden , php musst du dann dazu bringen die latest.log datei zu lesen - und an den client zu senden. Jz macht das aber wenig Sinn immer die gesamte datei zu senden weil die je nachdem gerne mal hunderte Zeilen hat, also macht es am meisten Sinn nur die Veränderungen / neuen Zeilen zu übertragen und per JavaScript einfach an das bisherige dran zu hängen. Das meine ich mit "Buffering".
Viel schwieriger wird es aber Befehle zu senden... du kannst in einen gewissen screen befehle senden mit :
screen -S sessionName -p 0 -X stuff "ls^M"
Das ^M muss da sein weil du so das " ENTER" Zeichen sendest.
Ich würde dir aber generell nicht empfehlen php exec() zu nehmen es ist mega unsicher... viel besser du nutzt php nur als "zwisxheninstanz" um von php aus dann einen Python script zu callen der dir dann befehle sendet usw
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Alternativ bietet Minecraft das RCON Protokoll damit kannst du befehle an deinen Server senden und empfangen, allerdings ist das ganze leider nicht sehr sicher. Es gibt aber entsprechende Librarys wie zB https://github.com/thedudeguy/PHP-Minecraft-Rcon