Da stimme ich leider keinem so 100% zu. Prinzipiell ist beides ein Ort an dem sich Tänzer/innen (welches Alter auch immer) treffen um zu tanzen oder Tanz zu lernen. Bei einem "Verein" handelt es sich lediglich um eine Organisationsform. Also beispielsweise (fiktiv): Kindertanzverein e.V. das "e.V." steht dann für eingetragener Verein. Einen Verein gründet man um beispielsweise Fördergelder zu erhalten, weniger bzw. keine Steuern zu zahlen und die "Lehrer" dort erhalten mehr eine Aufwandsentschädigung als ein Gehalt. Das klingt aber nur so als würde man im Verein weniger bekommen. Es kommt darauf an ob dieser gemeinnützig arbeitet etc. 

Beispielsweise gibt es das Kinder-und Jugendtanzstudio der TU Dresden e.V. das ist ein Tanzverein in dem studierte Diplom Tanzpädagogen tätig sind. Die Tänzer bzw. die bevollmächtigten Sorgeberechtigten sind dann die Mitglieder. Außerdem braucht ein Verein einen Vorstand, einen Kassenwart etc.

Eine Tanzschule ist selbständig oder in staatlicher Hand. Die staatlichen Tanzschulen sind solche, in denen die zukünftigen Profis ausgebildet werden und dort ihre Ausbildung zur staatlich anerkannten Tänzerin bzw. staatlich anerkanntem Tänzer erhalten. Beispielsweise die John Cranko Ballettschule in Stuttgart, die staatliche Ballettschule Berlin oder die Palucca Hochschule für Tanz.

Die anderen Tanzschulen sind Gründungen einer oder mehrerer Gründer, die ein Gewerbe anmelden und quasi ein Geschäft gegründet haben in dem sie Tanz unterrichten oder unterrichten lassen. Das ist für jeden Hobbytänzer die parallele Alternative zum Tanzverein.

Aber meine Kollegin hat in sofern recht, dass man doch eher selten vom "Tanzverein" spricht. Klingt nicht so schön. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

Kreative Grüße