Zuerst einmal waren Kushina und Minato noch gar nicht verheiratet, im Laufe der Serie erfährt man das sie erst nach der Versiegelung von Naruto geheiratet hätten (wenn sie überlebt hätten).
In Japan wird es so gehandhabt das der Name der Mutter genommen wird sollte die Frau nicht verheiratet sein.
Aber das soll meines Wissens nicht der einzige Grund gewesen sein, desweiteren wurde diese Maßnahme erhoben weil Naruto ein jinjuriki(also ein behälter für Kyubi) ist.
Auch Kushina (ehemalige jinjuriki) wurde Opfer von Entführungs versuchen, und weil die Uzumakis für rote Haare bekannt sind und Naruto ja blonde Haare hat, ist es für potenzielle Entführer noch irritierender herauszubekommen wer der wahre jinjuriki ist.
Fun Fact
Am Anfang wussten auch nur der dritte Hokage und seine engsten Vertrauten davon Bescheid, bis halt Danzo wegen politischen Gründen im Dorf erzählt hat das Naruto Schuld sei das der Kyubi überhaupt ausbrechen konnte.
Deswegen haben die Dorfbewohner ihn auch gemieden und verabscheut
