zahlt das jobcenter mir die haftpflichtversicherung?

Nicht direkt. Wenn du weitere Einkünfte hast, hast du 30 € monatlich als Freibetrag für Werbungskosten und Vorsorgeaufwendungen. Dazu gehört dann auch die Prämie für die Haftpflichtversicherung. Ansonsten ist diese aus der Grundsicherung zu tragen. Beim Versicherer gibt es die Möglichkeit, (z.B. durch Vereinbarung einer Selbeteiligung) den Beitrag erheblich zu reduzieren.

Das Jobcenter nicht. Aber in Ausnahmefällen zahlt das Sozialamt Hausrat- und Haftpflichtversicherung. Aber ich würde es auf jeden Fall mal probieren.

http://www.sozialleistungen.info/hartz-iv-4-alg-ii-2/versicherungen.html

wie kommst du darauf? seit wann zahlen die mehr als die sozialversicherungen?

Ja, ist in der Regelleistung enthalten. Sofern Du Einkommen hast, gibt es für Versicherungen einen Freibetrag.