Wieso impliziert das Fundierungsaxiom M ∉ M?

Sei M = {1, {1, {1, {...}}}} (Sprich: M= {1, M})

Laut dem Fundierungsaxiom ist diese Menge nicht nach ZF als Menge definiert, da das Fundierungsaxiom besagt "Jede Menge M ≠ ∅ enthält ein e, so dass e ∩ M = ∅".

In meinem Beispiel ist nun aber 1 ∈ M und 1 ∩ {1, ...} ist nach meinem Verständnis die leere Menge. Demnach müsste die Menge M nach ZF definiert sein, obwohl sie sich selbst enthält.

Wo ist mein Fehler?

Answer 1

[Banach]

Also das Fundierungsaxiom allein impliziert das nicht, aber in ZF gilt auch das Paarmengen-Axiom.

Also angenommen es gäbe in ZM eine Menge M, die sich selbst enthält, (also M in M).
Nach dem Paarmengen-Axiom ist C = {M} in ZF eine Menge. Nun gilt M in C und M in M. M ist aber das einzige Element in C. Für alle B in C gibt es also eine Menge x mit x in B und x in C. Das widerspricht dem Fundierungsaxiom.