Wie viele Kombination haben die Zahlen von 1 bis 10.000 um 16 zu ergeben?
Zum Beispiel: Die Zahl 79 ergibt 16 weil 7+9. Oder auch 5560 weil 5+5+60= 16.
Die 0 und möglichen Kombinationen muss man natürlich auch beachten.
1 Antwort
Betrachte das Polynom
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9)^4
Wenn man es vollständig ausmultipliziert (z.b mit Wolfram Alpha), hat x^16 den Koeffizienten 633, es sind also 633 Zahlen, dessen Quersumme 16 ist.
Erklärung: jeder Summand von 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 steht für eine der 10 möglichen Ziffern, die man für eine Stelle Wählen kann, das hoch 4 am Ende steht dafür, dass man 4 Ziffern davon wählt. Das funktioniert hier, da die Summe der Exponenten die Quersumme der Zahl entspricht, die gewählt wird. Der Koeffizient vor x^16 enthält dann alle Möglichkeiten, die Ziffern so zu wählen, sodass die Quersumme 16 ist.
(10000 muss noch extra betrachtet werden, hat aber offensichtlich nicht die Quersumme 16)
Kontrolle:
Wenn man in
https://www.rhetos.de/html/lex/quersummen.htm
Nach " 16" sucht, erhält man 633 Ergebnisse.