Wie leite ich die Formel v^2=2as her?

Du betrachtest einfach eine lineare Beschleunigung. Die Geschwindigkeitszunahme folgt dann einfach der Proportionalität

v = a * t

Weiter gibt es einen Zusammenhang zwischen der zurückgelegten Zeit und dem Weg.

s = v * t

Doch vorsicht: Diese Formel gilt nur wenn über die ganze Zeit t die konstante Geschwindigkeit v gefahren wird. Wird die Geschwindigkeit v vom Stillstand an erst nach der Zeit t erreicht. Dann wird nur die Hälfte des Weges durchfahren. Veranschauliche Dir das an einem einfachen v-t-Diagramm. Das entstehende Dreieck unter der Geschwindigkeitskurve entspricht der zurückgelegten Strecke. Es gilt

s=1/2 * v * t

Im nächsten Schritt ermittelst Du die Beschleunigungszeit bis zum Erreichen der Geschwindigkeit v  aus der ersten Formel:

t = v/a

und setzt das in die Wegformel ein. Dann gelingt auch die Auflösung nach

v^2.

Bei linearer Beschleunigung ist

dv = a dt

oder

dt = dv / a

Weiters ganz allgemein:

ds = v dt

Einsetzen von oben:

ds = v dv / a

Integrieren

s = v²/(2a)