Wie kann ich hier vorgehen um die Regelfunktion und die Treppenfunktion zu bestimmen?
1 Antwort
Ein recht einfaches Beispiel, welches mir dazu einfällt...
Ich denke, du wirst es schaffen, dazu die punktweise Grenzfunktion f zu finden und die geforderten Eigenschaften nachzuweisen.
Die Idee, die dahinter steckt... Verkleinere den Bereich für die x-Werte, auf dem eine Differenz zur Grenzfunktion auftritt, immer weiter, dass im Grenzwert der Bereich keine Rolle mehr spielt. Dementsprechend hat diese Differenz keinen Einfluss auf das Integral von f. Damit aber nicht der Grenzwert der Integrale der f_n verschwindet, machen wir die Funktionswerte immer größer, dass sich der Integralwert der f_n für endliche Zahlen n nicht ändert (und dem Wert des Integrals von f annähert), sondern immer gleich bleibt.
Im Grunde ist das Problem auch ein bisschen damit verwandt eine Funktionenfolge zu finden, die punktweise konvergiert aber nicht gleichmäßig konvergiert. [Denn bei gleichmäßiger Konvergenz würden die Integrale der f_n gegen das Integral gegen f konvergieren, was man hier ja aber nicht möchte. Aber man muss hier in der Aufgabe natürlich auch noch darauf achten, dass man mit Treppenfunktionen und einer Regelfunktion arbeitet.]
Warum denn nicht? Klar sind das Treppenfunktionen!
Wenn wir beispielsweise nach der auf Wikipedia formulierten Definition gehen...
https://de.wikipedia.org/wiki/Treppenfunktion_(reelle_Funktion)
Man findet eine endliche Anzahl an Stellen t₀ = a und t₁ = b - (b - a)/n und t₂ = b mit
a = t₀ < t₁ < t₂ = b
und Funktionswerte c₁ = 0 und c₂ = n, so dass die Funktion fₙ in den offenen Intervallen zwischen den Stellen entsprechend konstant ist...
- fₙ(x) = c₁ für alle x im offenen Intervall (t₀, t₁)
- fₙ(x) = c₂ für alle x im offenen Intervall (t₁, t₂)
Nein. Die punktweise Grenzfunktion bei der von mir genannten Funktionenfolge ist konstant gleich 0.
Hier übrigens mal ein GIF-Animation, welches die ersten Schritte für den Fall a = 1 und b = 7 darstellt...
Weiss allerdings nicht, ob deine f_n als Treppenfunktionen durchgehen.