Was genau bringt das Orthogonalisierungsverfahren?
Was es macht weiß ich, doch was bringt das im Endeffekt nun? Bevor ich mich mit etwas befasse will ich es auch voll verstehen können. Im Internet fand ich keine befriedrigende Antwort.
1 Antwort
Ich werde deine Frage ein bisschen umformulieren: Da du ja weißt, dass das Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis bildet, fragen wir uns stattdessen, was uns Orthonormalbasen bringen.
Immer dann, wenn wir Vektoren als Orthogonal betrachten wollen, brauchen wir natürlich ein Skalarprodukt "< , >", dann können wir a und b als orthogonal definieren, wenn <a,b> = 0. Eine Orthonormalbasis B ist jetzt eine Basis eines Skalarproduktraumes, sodass <b,b'> = 0 wenn b und b' verschieden sind, und |b| = 1 bezüglich der induzierten Norm.
Die eigentliche Verwendung der Orthonormalbasis kommt jetzt aus dem Koordinatensatz, und dieser macht die Orthonormalbasis erst nützlich. Wenn du ein Element eines Skalarproduktraumes bezüglich der Koordinaten einer Orthonormalbasis darstellen willst, musst du keine Gleichungssysteme mehr lösen wie in LA1, denn die Koordinaten werden durch das Skalarprodukt gegeben, sprich:
a = <a,b1> * b1 + <a,b2> * b2 + <a,b3> * b3 + ... + <a,bn> * bn.
Das einfachste Beispiel ist die kanonische Basis des R³ mit den Einheitsvektoren, und du kannst leicht prüfen, dass hier die Gleichung gilt, denn <(a,b,c),(1,0,0)> = a, <(a,b,c),(0,1,0)> = b, <(a,b,c),(0,0,1)> = c. Hier ist alles sehr offensichtlich, der Satz besagt aber, dass das mit jeder Orthonormalbasis auch wirklich funktioniert.
Dieser Satz sieht vielleicht ungefährlich aus, aber er hat es in sich! Wir können sofort die Richtigkeit der Fourierreihen beweisen, denn (1/2π)∫f(t)g*(t)dt ist ein Skalarprodukt auf dem Raum der stetigen 2π-periodischen Funktionen (g*(t) soll das komplexe Konjugat von g sein). Dazu ist {e^(i k t) | k ganze Zahl} eine Orthonormalbasis dieses Raumes (das kannst du einfach nachrechnen), und es folgt aus obigem Satz sofort, dass (1/2π)∫f(t)e^(-i n t)dt den n-ten Fourierkoeffizienten von f gibt. Anwendungen dieses Satzes gibt es sehr viele, aber das ist die erste Anwendung dieses Satzes die mir einfällt, und die hat die Elektrotechnik revolutioniert.
Fazit: Das Gram-Schmidt-Verfahren gibt uns eine Basis, die die schöne Eigenschaft hat, dass wir keine Gleichungssysteme mehr lösen müssen, um die Koordinaten bezüglich dieser Basis herauszubekommen. Das erleichtert eigentlich alles und mir fallen keine großen Nachteile ein.
LG
