Trassierung, Übung?
Hallo :-)
Würde mal gerne wissen, wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen kann.
2 Antworten
Zuerst kannst du mal ein par Bedingungen aufstellen. Das einfachste ist erstmal zu fordern, dass die gesuchte Funktion durch die beiden Endpunkte der vorhandenen läuft. Damit hast du also schon mal zwei Punkte.
Damit es dann noch Knickfrei wird, sollten die Steigungen - also ersten Ableitungen - in diesen Punkten auch übereinstimmen. Damit hättest du dann vier Bedingungen.
Also sollte man eine Funktion dritten Grades nehmen, in die allgemeine Funktionsgleichung die vier Bedingungen einsetzen und fleißig auflösen, bis du alle vier Parameter zusammen hast.
Interessante Aufgabe. Die Antwort von EtechnikerBS ist korrekt. Der Fragesteller wird die Aufgabe längst gelöst haben, aber für alle Interessierten hier mein Lösungsweg.
Es können diese 4 Bedingungen aufgestellt werden:
f(1) = 0, weil die gesuchte Funktion durch den Punkt (1|0) gehen muss.
f(-3) = 5.5, weil die gesuchte Funktion durch den Punkt (-3|5.5) gehen muss.
f'(1) = -2, weil die gesuchte Funktion im Punkt (1|0) dieselbe Steigung wie p(x) haben muss. Die Steigung ist die erste Ableitung p'(x)=-2x. Im Punkt (1|0) ist die Steigung also p'(1)=-2.
f'(-3) = -0.5, weil die gesuchte Funktion im Punkt (-3|5.5) dieselbe Steigung wie g(x) haben muss. Die Steigung ist die erste Ableitung g'(x)=-0.5.
Da wir vier Gleichungen haben, kann eine Funktion dritten Grades angesetzt werden, die vier Variablen hat:
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d. Ihre Ableitung lautet f'(x) = 3ax^2+2bx+c
Setzen wir ein, erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
f(1) = a+b+c+d = 0
f(-3) = a(-3)^3+b(-3)^2+c(-3)+d = 5.5
f'(1) = 3a+2b+c = -2
f'(-3) = 3a(-3)^2+2b(-3)+c = -0.5
Lösen wir dieses Gleichungssystem (z.B. mit Equation Solver: Wolfram|Alpha), erhalten wir folgende Lösung:
a = 1/64
b = -9/64
c = -113/64
d = 121/64
Somit lautet die gesuchte Funktion f(x) = 1/64x^3-9/64x^2-113/64x+121/64.
Das Resultat kann z.B. mit Funktionsgraphen zeichnen - Plotter (rechneronline.de) graphisch dargestellt werden. Der Graph kann dort (ganz unten) durch Eingabe des folgenden Pfads geladen werden:
a0=1&a1=-0.5x+4&a2=-x^2+1&a3=1/64x^3-9/64x^2-113/64x+121/64&a4=3&a5=0&a6=8&a7=1&a8=1&a9=1&b0=500&b1=500&b2=-10&b3=10&b4=-10&b5=10&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=-10&d5=10&d6=-10&d7=10&d8=-10&d9=10&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=14&e5=14&e6=13&e7=12&e8=0&e9=0&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=a0b0c0&g9=6080a0&h0=1&h1=-3&h2=1&h3=&h4=0&z