Span einer Matrix bestimmen
Hallo zusammen
sitz hier grad an meinen Übungsaufgaben und komm irgendwie nicht klar. Müssen hier zur bestimmung der Eigenvektoren den span des ker(A) berechnen.
ker(A) = ker(A - lambda * I_n) also I _n soll die Einheitsmatrix sein..
soweit so gut.. bsp: A = ( 1 1 0 / 1 0 1 / 0 1 1 ) lambda = 1
dann komm ich auf ker ( 0 1 0 / 1 -1 1 / 0 1 0 )
was der Kern jetzt genau ist, weiß ich auch nicht so genau.. also falls das dabei beantwortet werden könnte, wäre das auch ganz nett :D aber primär interessiert mich erstmal: wie bilde ich denn nun aus diesem kern den span? und was ist der span überhaupt mal ganz plump ohne große mathematische Formulierungen zu verwenden?
Besten Dank für kommende antworten!
2 Antworten
keine ahnung, was deine voraussetzungen sind, aber ich versuchs mal folgendermasßen:
der kern ist der untervektorraum, d.h.: eine teilmenge an vektoren aus deinem R^3 (in deinem bsp ist es R^3, aber kann auch R^n mit n aus den natürlichen zahlen beliebig sein)
der span vom kern ist ein erzeugendensystem des raumes, im normalfall die basis davon.
beispiel: 2-dimensional:
A = (1 2 / 1 2), dann sind alle vektoren der form (2,-1) * x, wobei x aus den reellen zahlen beliebig ist, im kern, denn: A * (2,-1) * x = (0,0) * x = 0. man kann dieses ergebnis aber auch auf andere art und weise herausbekommen. zB kann man auch sagen (-2 ,1) * x sind auch alle im kern. man stellt leicht fest, dass beide vektoren-mengen identisch sind, weil (-2-1) = -1 * (2,-1) und -1 ist reell, d.h.: beide darstellungen sind ineinander überführbar.
der span wäre in dem fall (2,-1) oder auch (-2,1) oder gar andere vielfache davon, zB (2pi,-pi)
du solltest dir nochmal selber anschaun, was eine basis ist. wenn du basisvektoren beliebig streckst/stauchst und dann addierst/voneinander subtrahierst , so musst du jeden vektor in deinem raum, (in dem fall der kern) erreichen können.
in meinem beispiel ist der vektorraum der R^2, der Kern ist ein 1-dimensionaler unterraum (in dem fall eine gerade), den man wie in der schule (analytische geometrie, falls sowas noch gelehrt wird) durch einen richtungsvektor eindeutig bestimmt ist. tu ich diesen strecken/stauchen, so erhalte ich die ganze gerade. jeder solcher vektor innerhalb der gerade ist also ein potentieller basisvektor. welchen du auswählst bleibt dir überlassen. du kannst auch mehrere auswählen, dann hat man ein erzeugendensysten, weil man auf mehrere arten jeden vektor erzeugen kann, aber basis heißt es nur, wenn man es auf nur genau eine art und weise erzeugen kann. in der regel ist also nach der basis des raumes gefragt, für den du dich interessierst.
in deinem beispiel:
damit ein vektor x im kern liegt, muss A x = 0 gelten. also muss nach der 1ten zeile die 2te komponente 0 sein. die erste und letzte komponente ist zunächst beliebig. die 3te zeile ist gleich der ersten, also kommt von da keine neue information dazu. die mittlere zeile muss auch zu 0 werden. bilden wir hierfür das matrix-vektor produkt erhalten wir:
1 * 1te komponente + 0 * 2te komponente + 1 * 3te komponente = 0
also 1te komponente = - 3te komponente, oder andersrum. das ist egal!
damit setzen wir einfach 1te komponente = -1, 3te komponente=1 (gerade "über kreuz gedacht"), so folgt: -1 = -1, das ist wahr.
alle vektoren im kern bestimmen sich also zu (-1,0,1) * x (weil beliebige vielfache nur eine streckung bedeuten, aber 0 gestereckt = immernoch 0)
du hättest auch (1,0,-1) oder (2,0,-2) oder was auch immer auswählen können, aber intuitiv wählt man (-1,0,1) aus, und damit ist das der basisvektor den wir angeben möchten.
nun kommt es darauf an, was ihr als span definiert habt. man sagt oft: "span angeben", meint aber "basisvektor angeben", denn eigentlich ist der span folgendes:
bilden wir jetzt den span von (-1,0,1) soll wieder die ganze gerade rauskommen. der span sind also alle vektoren, die durch streckung/stauchung und summation aller vektoren wovon man den span bildet erhalten kann. in dem fall gibt es keine summation von vektoren, weil es nur einen gibt.
ein beispiel:
der span von (1,0) und (,1) ergibt den 2D-raum. möchte man den punkt (2,1) erhalten, so muss man rechnen 2 * (1,0) + 1 * (0,1). das ist die summe 2er gestreckter basisvektoren.
Hallo!
Span einer Matrix kenne ich nicht, evtl. ist damit gemeint der Span der Zeilenvektoren? Oder das Bild der Matrix?