Physik~Wie berechnet man den Radius einer Zentrifuge?
Hallo Leute,
Ich verstehe nicht ganz, wie oder was man bei diese Aufgabe berechnen soll:
Eine Ultrazentrifuge rotiert mit 100 000 Umdrehungen pro Minute. Berechnen Sie die Radien, bei denen der 500 000-fache bzw. der 10^6-fache Wert der Erdbeschleunigung erreicht wird.
Würde mich über eine Antwort freuen.
2 Antworten
Hallo LelLp,
mit einer Zentrifuge kannst Du eine Art künstlicher Schwerkraft erzeugen, aber warum?
Bereits GALILEI fand heraus, dass ein Körper solange seine Geschwindigkeit v› = (vx | vy | vz) beibehält, wie entweder keine Kraft auf ihn wirkt oder alle auf ihn wirkenden Kräfte einander aufheben (bei einem geradeaus fahrenden Autos sind das der Antrieb und die Reibungskräfte).
Die Beschleunigung a› = (ax | ay | az) (Letzteres nicht zu verwechseln mit der Zentripetalbeschleunigung a›z) ist durch dv›/dt definiert, wobei dt eine sehr kurze Zeitspanne ist und dv› die ebenfalls sehr kleine Geschwindigkeitsänderung, die ein Körper während dieser Zeit erfährt.
Wird ein Körper permanent senkrecht zu seiner aktuellen Bewegungsrichtung beschleunigt, ändert sich nur die Richtung, aber nicht der Betrag der Geschwindigkeit, und so entsteht eine Kreisbahn (oder eine schraubenförmige Bahn) mit konstantem Tempo v = vx² + vy² + vz², zum Beispiel mit dem Ort
(1) r› = (x | y | z) = (r·cos(ωt) | r·sin(ωt) | 0),
was durch die Ableitungsregeln*) für Sinus und Cosinus zur Geschwindigkeit
(2) v› = (–ω·r·sin(ωt) | ω·r·cos(ωt) | 0)
und zur Beschleunigung
(3) a› = (–ω²·r·cos(ωt) | –ω²·r·sin(ωt) | 0) = –ω²·r›
führt, wobei r der Bahnradius und ω die Winkelgeschwindigkeit ist. Daraus ergibt sich für die Beträge die bekannte Formel
(4.1) a = ω²·r = v²/r,
wobei man für diese Aufgabe einfach nach r umstellen muss:
(4.2) r = a/ω²
Die Winkelgeschwindigkeit wird üblicherweise in Radian**) pro Sekunde gemessen, und eine Umdrehung entspricht 2π Radian (360°). Eine Umdrehung pro Minute entspricht 6°=π/30 Radian pro Sekunde. Damit sind 100000=10⁵ Umdrehungen pro Minute gleich 10⁴·π/3 ≈ 1,0476×10⁴/s ≈ 1,05×10⁴/s und damit ω² ≈ 1,1×10⁸/s².
Um dafür das passende r zu finden, musst Du nur noch die Zahlen in (4.2) einsetzen. Ich bekomme da nur etwa 0,455cm bzw. 0,91cm heraus.
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*) Ableiten heißt, dass man die Änderungsrate einer Größe als Funktion einer anderen ermittelt, zum Beispiel der Zeit. Die Geschwindigkeit ist zum Beispiel die Ableitung des Ortes, die Beschleunigung die der Geschwindigkeit nach der Zeit.
**) Das Radian ist eine Hilfsmaßeinheit für eine eigentlich dimensionslose Zahl, nämlich das Verhältnis zwischen zwei Längen, der Länge eines Kreisbogens und dem Radius des Kreises.
Du kennst die Gleichung für die Zentrifugalkraft?? [m * (Omega^2) * r ]
Also 100 000 rpm in Winkelgeschwindigkeit Omega umrechnen.
Dann Omega^2 rechnen.
Die Zentrifugalbeschleunigung beträgt [ (Omega^2) * r ]
Aus dem Verhältnis zu der Schwerkraftbeschleunigung lässt sich dann der Radius r beerechnen.