Mathematik Abitur hilfe?

Ich bitte um eine Hilfestellung bei folgender

Aufgaben Nummer b.

Answer 1

[Kurax151]

zu b)

Ja, sowohl f' als auch f'' stimmen

Zur Überprüfung für x=e/a: $\ln\left(\frac{x}{a}\right)+1=0$ $\ln\left(\frac{x}{a}\right)=-1$

e^ auf beiden Seiten:

$e^{\ln\left(\frac{x}{a}\right)}=e^{\left(-1\right)}$ $\frac{x}{a}=e^{-1}$ $x=e^{-1}\cdot a=\frac{a}{e}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium

Answer 2

[ChristBorgelt]

Aufgabe Fischlogo

b.

Zeigen sie, dass die x-Koordinate diese Extremwertes x=a/e ist:

Ableiten der f_a(x)-Funktion:

• $f_a\left(x\right)=\frac{1}{a}\cdot x\cdot\ln\left(\frac{x}{a}\right)$
• $f'_a\left(x\right)=\frac{1}{a}\cdot\ln\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{a}$
• $f''_a=\frac{1}{a\cdot x}$

Nullstellen suchen mit f'_a(x)=0:

1. $\frac{1}{a}\cdot\ln\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{1}{a}=0$
2. $\frac{1}{a}\cdot\ln\left(\frac{x}{a}\right)=-\frac{1}{a}$
3. $\ln\left(\frac{x}{a}\right)=-1$
4. $e^{\ln\left(\frac{x}{a}\right)}=\frac{1}{e}$
5. $\frac{x}{a}=\frac{1}{e}$
6. $x=\frac{a}{e}$

Damit ist gezeigt, dass bei x=a/e die Funktionen f_a(x) einen Extremwert haben.

Bestimmung der Art des Extremwerts mit f''_a(a/e):

1. $f''_a\left(\frac{a}{e}\right)=\frac{e}{a^2}\ >\ 0\ ,\ \ da\ a>0\ und\ e>0.$

Daraus folgt, da f''_a(a/e) > 0, dass die Funktion von einer negativen Steigung zu einer positiven Steigung beim Extremwert wechselte, demzufolge existiert ein Tiefpunkt bei den Funktionen f_a(x) bei x=a/e.

Überprüfung der Menge W:={y | y aus Menge der Reellen Zahlen: y >= -(1/e)}:

Was wir wissen:

Jede Funktion f_a(x) hat genau einen Tiefpunkt bei x=a/e.

Wenn wir zeigen, dass der resultierende y-Wert des Tiefpunktes bei jeder Funktion f_a(x) größer oder gleich -(1/e) ist, dann existiert kein weiterer x-Wert der Funktionen f_a(x), der kleinere y-Werte haben.

Zeige das f_a(a/e) >= -(1/e):

$f_a\left(\frac{a}{e}\right)=\frac{a}{a\cdot e}\cdot\ln\left(\frac{\left(\frac{a}{e}\right)}{a}\right)=\ \frac{1}{e}\cdot\ln\left(\frac{1}{e}\right)\ =\frac{1}{e}\cdot\left(-1\right)$ Damit ist gezeigt, das f_a(a/e)=-(1/e) ist, somit die Menge W auch gleich dem Wertebereich von den Funktionen f_a(x).

Comments

[Benjamin12332]

Sehr ausführlich und sehr gute Darstellung:) danke

Answer 3

[fjf100]

fa(x)=x/a*ln(x/a)

siehe Mathe-Formelbuch,Differentationsregeln,elementare Ableitungen

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´

elementare Ableitung (ln(x)=1/x

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

u=x/a abgeleitet u´=du/dx=1/a

v=ln(x/a) nach der Kettenregel Substitution (ersetzen) z=x/a abgeleitet z´=dz/dx=1/a

f(z)=ln(z) abgeleitet f´(z)=1/z=1/(x/a)=a/x

v´=dv/dx=1/a*a/x=1/x

f´(x)=1/a*ln(x/a)+x/a*1/x)

f´a(x)=0=1/a*(ln(x/a)+1)

Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

0=ln(x/a)+1

ln(x/a)=-1 logarithmiert

x/a=e^(-1)=1/e Potenzgesetz a^(-n)=1/a^(n)

f´a(x)=ln(x/a)+1 Nullstelle bei x=a/e

Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) x=a/e ist eine Minimum

f´´a(a/e)>0 Minimum

In Handarbeit f´a(x)=1/a*(ln(x/a)+1) nochmal ableiten

f´´a(x)=....

Das schaffst du selber.

Hinweis: f(x)=ln(x/a) mit a<0 ergibt mit x>0 negativen Wert

ln(negativ) ist nicht definiert.

Also,wenn a<0 dann Wertebereich x<0 weil -x/-a=x/a=positiv

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 4

[Kurax151]

Kannst du die ersten beiden Bilder bitte richtig herum drehen? Das würde das anschauen deutlich erleichtern

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik Studium

Comments

[Benjamin12332]

Habe es ergänzt

[fjf100]

Kannst du mit deinem Bildprogramm drehen.

[Kurax151]

@fjf100

ich weiß dass ich es drehen könnte aber ich erspar mir und allen anderen die Mühe indem ich den fragesteller bitte das zu tun

[fjf100]

@Kurax151

Für mich ist das nur ein Klick.

Habe das Betriebssystem Linux Mint "Tessa".

Um das Bild gut lesen zu können,muß ich auf das Bild klicken und dann erscheint unten "rechts" das Symbol für "Linksdrehung" und Rechtsdrehung"

Ist für mich also keine Mehrarbeit.