Mathe maximales Volumen?
Könnte mir jemand bitte bei Aufgabe 9 helfen.
Danke im Voraus
3 Antworten
Du hast zwei Grundflächen und drei Wände, wobei gilt laut Bild sowie Vorgabe maximales Volumen (da ein Quadrat den größten Inhalt hat in Bezug zum Umfang, also wenn Umfang u = 2 * h + 2 * b, dann Vol.-max wenn h = b, Beweis: Vol(h,b) = h*b; Vol(h) = h * 1/2(u-2h) = 1/2uh - h², davon die Ableitung: 1/2u-2h = 0, u = 4h = 2h + 2b; b=h; h = Höhe, b=Breite).
Grundfläche = 2 mal Wandfläche
Also: 2 * Grundfläche + 3 * Wandfläche = 2 * (2 * Wandfläche) + 3 * Wandfläche = 7 * Wandfläche.
Das Brett in 7 Teile zersägen und gut. Man kann aber noch die Tiefe quadratisch ausgestalten, also das b=h=t. Die Gesamtlänge des Bretts muss dann 7 mal so lange sein wie Höhe und Tiefe des Regals
Du musst das größte Volumen der Abbildung rechts daneben berechnen
Da wir die 0.4m Tiefe nicht beeinflussen können, musst du einfach mit 5m ein Rechteck mit einem Mittelstrich kreieren, das die grösste Fläche aufweist.
Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich so (Zielfunktion):
E = x * y
Unsere Nebenbedingungen sind aber:
5m = 2*x + 3*y
...da wir 2*x Länge haben (oben unten) und 3*y Länge (die zwei Seiten + Wand in Mitte)
Jetzt kannst du diese Nebenbedingung nach y umformen um sie dann in die Zielfunktion einzusetzen:
5 = 2*x + 3*y | -2*x
5 - 2*x = 3*y | /3
(5 - 2*x)/3 = y
Einsetzen in Zielgleichung:
E = x * ((5 - 2*x)/3) | vereinfachen
E = -2x^2/3 + 5x/3
Jetzt kannst du den Definitionsbereich ausrechnen (1.25|1.042). Den höheren Wert nehmen und in Formel einsetzten um y zu bekommen und Tata.
y = 0,833
Überprüfen, ob :
2*1.25 + 3*0.833 = 5 Meter
Stimmt!
Somit ist deine Lösung
1.25m x 0.833m x 0.4m