Lineare Gleichungssysteme / Mischungsaufgaben?
Hey!! Ich brauche Hilfe von Matheprofis. Seit Stunden probiere ich diese Aufgaben zu lösen, kriege es aber einfach nicht hin. Wäre lieb wenn mir jemand einmal Mischungs, sowohl auch Bewegungsaufgaben erklärt. Dankeschön
6 Antworten
Ich rechne mal die erste Bewegungsaufgabe als Beispiel vor.
Zuerst zeichnen wir ein Koordinatensystem. Auf die x-Achse kommt immer die Zeit und auf die y-Achse kommt immer die Strecke.
Dann überlegen wir, welche Einteilung sinnvoll ist, damit das auch aufs Blatt passt.
Beid er Zeit denke ich, dass die Wanderung spätestens nach 2 h eingeholt wurde. Dann hat sie erst 6 km zurückgelegt, während der Radfahrer ja viel schneller ist. Der fährt pro Stunde 14km / 1,5 h = 9,33 km/h.
Die Zeit geben wir in Minuten an, weil ja nach Minuten als Ergebnis gefragt ist.
Also tragen wir auf der x-Achse pro Zentimeter 10 min ein, das ergibt bei 120 min eine Länge von 12 cm. Die beschriften wir mit t (für time). (kann ich hier allerdings nichtmachen, da steht x)
Auf der y-Achse tragen wir pro Kästchen 1km ein, das ergibt bei 10 km eine Gesamthöhe von 5 cm. Das passt auch in das vorgegebene Karoblatt. Das beschriftet man besser mit s für strecke statt mit y.
Das sieht dann erstmal so aus:
Da tragen wir nun die gegebenen Informationen ein:
Die Wanderin (blau) marschiert bei x = 0 und y = 0 los....wie machen also im Ursprung einen Punkt. Nach 60 min hat sie 3 km zurückgelegt. Also machen wir auch bei t = 60 und s = 3 einen Punkt. Die beiden Punkte verbinden wir mit einer Geraden, die aber über den Punkt hinaus verlängert wird.
Das sieht dann so aus:
Nun tragen wir den Radfahrer (rot) ein. Bei t = 60 fährt er los, also ist da s = 0. Da machen wir also auf der x-Achse bei 60 einen Punkt. Nun brauchen wir noch einen zweiten Punkt. Den berechnen wir aus der Angabe, dass er in 1,5 h 14 km fährt. Also legt er in einer halben Stunde 14 km/3 = 4,7 km zurück. Also machen wir bei t = 90 und s = 4,7 einen weiteren Punkt. Nun verbinden wir die beiden Punkte und haben die Gerade für den Radfahrer eingezeichnet:
Jetzt lesen wir den Schnittpunkt ab, denn dort treffen sich die beiden. Ich lese ab:
t = 88 min, s = 4,4 km
Züge fahren aufeinander zu
zuerst eine Zeichnung machen,x-y-Koordinatensystem zeichnen und die Strecken eintragen
aus der Zeichnung ergibt sich
1) s(Treff)=v1*2700 s → t=45 min=2700 s
2) s(Treff)=104.000 m-v2*2700 s → S=104 km=104.000 m
3) s1+2000 m=104.000 m-v2*1620 s → 2 km=2000 m 60 min-33min=27 min=1620 s
4) s1=v1*3600 s → Zug 1 ist 1 Stunde=3600 s unterwegs
1) und 2) gleichgesetzt
v1*2700=104.000-v2*2700
v1=1040/27-v2
4) in 3)
v1*3600+2000=104.000 m-v2*1620s → 27 min=1620 s
(1040/27)-v2]*3600=104.000-2000-v2*1620
138666,667-v2*3600=102.000-v2*1620
138666,667-102.000=v2*(3600-1620)
v2=(138666,667-102.000)/(3600-1620)=18,5185 m/s=66 2/3 km/h
v1=1040/27-18,5186 m/s=20 m/s=72 km/h
Probe: Gesamtgeschwindigkeit 72 km/h+66 2/3 km/h=138 2/3 km/h
v=s/t → v=104 km/(3/4 std)=138 2/3 km/h stimmt
Die Darstellungen der Bewegungen sind in dem Koordinatensystem Geraden. Zeichne die jeweiligen Geraden in das Koordinatensystem ein ! Die Koordinaten des Schnittpunkts stellen dann den Punkt des Zusammentreffens dar.
Sammlung von Aufgaben mit Lösungen in Mathematik und Physik findest du unter http://www.raschweb.de
Und nun noch die Mischungaufgabe 2)
Da müssen wir erstmal Vorarbeit erledigen, um überhaupt zu Gleichungen zu kommen, die wir einzeichnen können. Ich machs jetzt auch etwas kürzer als bei der Bewegungsaufgabe.
Verkauft werden sollen 60 kg à 6,50, das macht einen Gesamterlös von
60 * 6,5 = 390,-
Wir legen fest:
x sei die Menge arabischer Kaffee mit 7,15 pro Kilo
y sei die Menge kolumbianischer Kaffee mit 5,75 pro Kilo
Für die Menge gilt:
x + y = 60
aufgelöst nach y:
y = 60 - x
Um für die Gerade zwei Punkte zu kriegen, dir wir einzeichnen und verbinden können, setzen wir einmal x = 0, das ergibt den Abschnitt auf der y-Achse und einmal y = 0, das ergibt den Abschnitt auf der x-Achse:
x = 0: y = 60
y = 0: x = 60
Diese Gerade habe ich blau eingezeichnet.
Für den Preis gilt:
x * 7,15 + y * 5,75 = 390
aufgelöst nach y ergibt:
y = 67,826 - 1,2435 x
Um für die Gerade zwei Punkte zu kriegen, dir wir einzeichnen und verbinden können, setzen wir einmal x = 0, das ergibt den Abschnitt auf der y-Achse und einmal y = 0, das ergibt den Abschnitt auf der x-Achse:
x = 0: y = 67,8
y = 0: x = 67,826/1,2435 = 54,5
Diese Gerade habe ich rot eingezeichnet.
Damit haben wir unsere beiden Gleichungen, die wir nun in das Koordinatensystem eintragen können. Da ist die Einteilung wieder sinnvoll zu wählen. Das wäre für x maximal 60 kg und für y maximal 70. Das ganze sieht dann so aus (unten ist es leider etwas abgeschnitten):
Da lesen wir als Lösung wieder den Schnittpunkt ab:
x = 32,5 kg
y = 27,5 kg
Und machen vorsichtshalber die Probe:
32,5 kg + 27,5 kg = 60 kg ....stimmt
32,5 * 7,15 + 27,5 * 5,75 = 390,5 ...stimmt fast genau. Die 0,5 können wir vernachlässigen, die kommt durch Rundungsfehler.
1) immer eine Zeichnung machen → x-y-Koordinatensystem
Geschwindigkeit=zurückgelegter Weg s pro Zeiteinheit t
v=s/t
aus der Zeichnung ergeben sich 2 Formeln
1) Sw=vw*t+3 km → vw=3 km/h hat s(vorsprung)=3 km/h*1 Std=3 km
2) Sr=vr*t → vr=14 km/1,5 Std=9 1/3 km/h
1) u. 2) gleichgesetzt
3 km/h*t+3 km=9 1/3 km/h*t
3=9 1/3*t-3*t=(9 1/3-3)*t
Einholzeit t=3 km/(9 1/3 km/h-3 km/h)=9/19 Std=28,42 min
sind 2 Geraden y1=f1(t)=3 km/h*t+3 m → f(x)=3*x+3
y2=f2(t)=9 1/3 km/h*t → f(x)=9 1/3*x