Ist es rechtlich erlaubt, einen Onlineshop für eine öffentliche Schule zu erstellen (ist mit der Schule abgesprochen)?

Da wirst du mal einen Rechtsanwalt befragen müssen, der kann dir genaueres sagen.

warum genau soll es verboten sein?

Wenn die Schule der Betreiber und Du nur der Dienstleister bist, der den Shop zur Verfügung stellt, sehe ich da kein Problem. Wenn Du unter dem Namen der Schule Waren verkaufst, ist es sicherlich nicht mehr ganz so trivial.

Rechtlich kann ich persönlich aber keine Hinderungsgründe finden, warum eine Schule keinen Onlineshop führen darf.

Ein Onlineshop für die Schule zu erstellen ist komplett legitim.

Es wird erst gefährlich sobald Sachen verkauft werden. Dort benötigt man einen Steuerberater.