Habe ich einen Denkfehler (Mathe)?
Hallo, liebe Community!
Ich bin auf folgende mathematische Ungereimtheit gestoßen und weiß nicht, wo dabei mein Denkfehler ist...Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen!
Ich gehe von der Funktion f(x)= (x^2)^0,5 aus.
Lasse ich die von einem Funktionsplotter zeichnen, dann ist das die Funktion "Betrag von x" (tut mir leid, ich weiß nicht wie man die Betragsstriche macht :)). Mir ist auch klar, warum, denn die obige Funktion lässt sich ja einfach umschreiben als f(x)="die Wurzel von x^2" und die ist ja bekanntlich der Betrag von x.
Jetzt habe ich mich aber gefragt, was passieren würde, wenn ich die Funktion nicht mit der Wurzel sondern mithilfe der Rechengesetze für Potenzen umschreibe: Das ergäbe ja dann f(x)= x^(2*0,5)=x^1=x. Warum komme ich mit diesem Rechenweg auf x und nicht den Betrag von x? Wo liegt man Fehler? Kann es vielleicht sein, dass diese Rechengesetze für Potenzen nur dann gelten, wenn die Basis positiv ist?
Vielen Dank schon einmal im Voraus!
3 Antworten
Als Ergänzung zur Antwort von marcelh4004 möchte ich dir folgendes Beispiel geben, das die Umkehrung deines Beispiels darstellt.
[(-1)^(0,5)]^2 = -1 das ist für den Bereich der reellen Zahlen falsch, da (-1)^(0,5) für die reellen Zahlen nicht definiert ist, obwohl das Ergebnis dem entspricht, wenn man mit komplexen Zahlen rechnen würde.
Ein ähnliches Problem gibt es bei der Gleichung x^0 =1 die nur für x <> 0 richtig ist.
Danke, das ergibt Sinn! Ich hatte mich auch schon gefragt, was passiert, wenn ich die beiden Faktoren im Exponenten vertausche, weil das ja dann für negative Basen nicht mehr definiert wäre, aber da wir in der Schule leider keine komplexen Zahlen mehr behandeln, wusste ich nicht, dass es dafür spezielle Rechenregeln gibt!
Das liegt daran, dass die Quadratwurzel eine mehrwertige Funktion über den komplexen Zahlen ist. Man betrachtet in der Regel den Hauptzweig, beim Quadrieren und gleichzeitigem Wurzelziehen wechselt man aber eventuell in den anderen Zweig der Wurzel; dasselbe „Problem“ ergibt sich bei Exp und Log…
Der Denkfehler liegt in der Anwendung der Potenzgesetze. Genauer gesagt liegt es daran, dass die Potenzgesetze nicht für alle Werte von x gelten, insbesondere nicht für negative x.
Um das zu sehen, betrachten wir die ursprüngliche Funktion f(x) = (x^2)^0.5 = |x|. Der Ausdruck (x^2)^0.5 gibt die positive Wurzel von x^2 zurück, d.h. für x >= 0 ist f(x) = x. Für negative Werte von x gilt jedoch, dass (x^2)^0.5 = |-x| = |x|, da das Quadrat eines negativen Wertes positiv ist.
Wenn Sie nun versuchen, die Potenzgesetze auf die Funktion f(x) = (x^2)^0.5 anzuwenden und sie umschreiben als f(x) = x^(2*0.5) = x^1 = x, verlieren Sie die Information darüber, ob x positiv oder negativ ist, da für beide Fälle dasselbe Ergebnis herauskommt. Daher erhalten Sie für negative Werte von x ein falsches Ergebnis, nämlich f(x) = x anstatt f(x) = |x|.
In der Tat gelten die Potenzgesetze nur für positive Basen, da für negative Basen die Regeln der komplexen Zahlen angewendet werden müssen, um die Potenz zu berechnen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die ursprüngliche Funktion f(x) = (x^2)^0.5 = |x| korrekt ist und dass die Anwendung der Potenzgesetze in diesem Fall zu einem falschen Ergebnis führt, insbesondere für negative Werte von x.
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Das leuchtet mir ein! Dann lag der Fehler also tatsächlich "nur" darin, dass man die Potenzgesetze hier einfach nicht benutzen darf!