Wie macht man das?
Kann mir jmd bitte anhand dieses Beispiels Fibonacci zahlen und den goldenen Schnitt erklären
1 Antwort
Finonacci-Zahlen:
Die Quadrate haben die Seitenlänge der entsprechenden Fibonacci-Zahl.
Erklären kann sie dadurch, dass dir nächste Fibonacci-Zahl immer der Seitenlänge der längeren Kante des gesamten Rechtecks entspricht. Die entsprechenden Quadrate werden im mathematisch positiven Sinne (entgegen des Uhrzeigersinns) "glatt" (Ecke an Ecke) angeordnet.
In Bezug auf das Bild wäre die siebte Fibonacci-Zahl also 8+2+3=13. Das entsprechende Quadrat liegt über dem Rechteck (als Gesamtbild der eingezeichneten Quadrate).
Die nächste (8.) Fibonacci-Zahl wäre also 13+3+5=21, ihr Quadrat dann links des Rechtsecks liegen würde.
Goldener Schnitt:
Der goldene Schnitt (bzw. eine Potenz von ihm) taucht bei einer expliziten Formel für die n-te Fibonacci-Zahl auf. Falls du dich mit Matrizenrechnung auskennst (insbesondere auch Diagonalisieren), habe ich die die Rechnung dafür aufgeschrieben (siehe Bild).
Der goldene Schnitt taucht insbesondere bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms (x ist Lambda)
(1–x) • (–x) – 1 • 1 = 0
– x² – x – 1 = 0
auf. Manchmal wird er sogar als (positive) Lösung dieser Gleichung definiert.
Wenn du das Matrizen-Produkt unten im oberen Bild ausrechnest, erhälst du diese Formel, wo der goldene Schnitt φ = (1+√5)/2 auftaucht:
x_n = ( φ^(n+1) – (1–φ)^(n+1) ) / √5
Bei Wikipedia wirst du statt n+1 im Exponenten nur n finden. Das liegt daran, dass dort x_0 = 0 und x_1 = 1 gesetzt wurde, ich habe aber x_0 = x_1 = 1 gesetzt. Es ist nur eine "Verschiebung" der Werte.
Inwiefern man das geometrisch mit dem goldenen Schnitt erklären kann, weiß ich leider nicht.
